[论文解读] Localized BMO and BLO Spaces on RD-Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Dongyong Yang+1 more|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文在RD-空间上通过Schrödinger算子导出的容许函数ρ，引入了局部化的BMO和BLO空间BMOρ(X)与BLOρ(X)。建立了BMOρ(X)的John-Nirenberg不等式，给出了BLOρ(X)的等价刻画，并证明了关键算子——极大函数、g-函数和径向极大函数——在这些空间上的有界性，从而为欧氏空间、Heisenberg群及幂零李群上的Schrödinger算子和子Laplace算子获得了新结果。

ABSTRACT

An RD-space ${\mathcal X}$ is a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss with the additional property that a reverse doubling condition holds in ${\mathcal X}$. Let $ρ$ be an admissible function on RD-space ${\mathcal X}$. The authors first introduce the localized spaces $\mathrm{BMO}_ρ({\mathcal X})$ and $\mathrm{BLO}_ρ({\mathcal X})$ and establish their basic properties, including the John-Nirenberg inequality for $\mathrm{BMO}_ρ({\mathcal X})$, several equivalent characterizations for $\mathrm{BLO}_ρ({\mathcal X})$, and some relations between these spaces. Then the authors obtain the boundedness on these localized spaces of several operators including the natural maximal operator, the Hardy-Littlewood maximal operator, the radial maximal functions and their localized versions associated to $ρ$, and the Littlewood-Paley $g$-function associated to $ρ$, where the Littlewood-Paley $g$-function and some of the radial maximal functions are defined via kernels which are modeled on the semigroup generated by the Schrödinger operator. These results apply in a wide range of settings, for instance, to the Schrödinger operator or the degenerate Schrödinger operator on ${\mathbb R}^d$, or the sub-Laplace Schrödinger operator on Heisenberg groups or connected and simply connected nilpotent Lie groups.

研究动机与目标

• 通过Schrödinger算子导出的容许函数ρ，在RD-空间上发展局部化BMO与BLO空间的理论。
• 建立BMOρ(X)的基本性质，包括John-Nirenberg不等式，并通过等价范数刻画BLOρ(X)。
• 证明BMOρ(X)与BLOρ(X)上极大算子、径向极大函数及Littlewood-Paley g-函数的有界性。
• 将已知的BMO型空间结果推广至一般RD-空间，并应用于各种几何设定下的Schrödinger算子。
• 在满足反Hölder条件的势函数存在下，为热核差值与g-函数行为提供新的定量估计。

提出的方法

• 通过与Schrödinger算子中势函数V相关的容许函数ρ，在RD-空间上定义局部化BMOρ(X)与BLOρ(X)空间。
• 利用反加倍条件及V ∈ Bq(G,d,µ)（其中q ∈ (D/2,D]）的反Hölder不等式，控制ρ的增长。
• 通过使用辅助函数ρ估计球上振荡，建立BMOρ(X)的John-Nirenberg不等式。
• 通过涉及极大函数与局部化径向极大函数S+ρ的多个等价范数刻画BLOρ(X)。
• 通过半群理论分析热核Tt(x,y)及其扰动项eTt(x,y)，推导出核差值的点态估计。
• 应用(1,N)-AOTI族理论与L2有界性，证明BMOρ(X)与BLOρ(X)上g-函数与极大算子的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Schrödinger算子导出的容许函数ρ，在RD-空间上对BMO与BLO空间进行局部化？
• RQ2 局部化BMOρ(X)空间的John-Nirenberg不等式是什么？其依赖于函数ρ的何种形式？
• RQ3 局部化BLOρ(X)空间的等价刻画是什么？其与极大函数及g-函数有何关联？
• RQ4 Hardy-Littlewood极大算子、径向极大函数及Littlewood-Paley g-函数在BMOρ(X)与BLOρ(X)上是否均有界？
• RQ5 这些结果能否推广至Heisenberg群、幂零李群及R^d上退化的Schrödinger算子？

主要发现

• BMOρ(X)满足John-Nirenberg不等式，常数依赖于容许函数ρ与加倍维数D。
• BLOρ(X)可通过涉及局部化径向极大函数S+ρ与Hardy-Littlewood极大函数的多个等价范数刻画。
• 与ρ相关的Littlewood-Paley g-函数有界映射BMOρ(X)至BLOρ(X)，其算子范数受∥f∥BMOρ(G)控制。
• 所有算子T+(f)、eT+(f)、T+ρ(f)、P+(f)、eP+(f)、eP+ρ(f)、g(f)与[g(f)]²在BMOρ(X)上有界，且映射至BLOρ(X)。
• 对所有f ∈ BMOρ(G)，这些算子的BLOρ(G)-范数之和有界于∥f∥BMOρ(G)的绝对常数倍，常数与N无关。
• 所得结果为R^d、Heisenberg群及连通单连通幂零李群上的Schrödinger算子提供了新的有界性估计，尤其在反Hölder势条件下。