[论文解读] Localized Chern Characters for 2-periodic complexes

Bumsig Kim, Jeongseok Oh|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文建立了代数几何中余截面局部化与2-周期复形的局部化陈特征之间的精确等价性，特别针对Landau-Ginzburg (LG) 双有理映射理论中与 $ p $-域相关的Koszul复形。通过此等价性，证明了 $ \varepsilon $-稳定双有理映射及其LG对应物的虚拟周期相等，解决了枚举几何中的一个关键比较问题。

ABSTRACT

For a two-periodic complex of vector bundles, Polishchuk and Vaintrob have constructed its localized Chern character. We explore some basic properties of this localized Chern character. In particular, we show that the cosection localization defined by Kiem and Li is equivalent to a localized Chern character operation for the associated two-periodic Koszul complex, strengthening a work of Chang, Li, and Li. We apply this equivalence to the comparison of virtual classes of moduli of epsilon-stable quasimaps and moduli of the corresponding LG epsilon-stable quasimaps, in full generality.

研究动机与目标

• 澄清虚拟周期构造中两种主要技术之间的关系：余截面局部化（Kiem-Li）与局部化陈特征（Polishchuk-Vaintrob）。
• 证明与 $ p $-域相关的Koszul复形的余截面局部化等价于一个局部化陈特征操作。
• 将此等价性应用于在一般情形下比较 $ \varepsilon $-稳定双有理映射及其Landau-Ginzburg (LG) 对应物的虚拟基本类。
• 为使用局部化陈特征计算带有 $ p $-域的双有理映射模空间中的虚拟周期提供统一框架。

提出的方法

• 作者利用与 $ p $-域相关的Koszul复形的2-周期复形结构，通过Polishchuk和Vaintrob的构造定义了一个局部化陈特征。
• 他们在余切丛 $ C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ 上构造了复形 $ \{p_0^*\sigma, t_F\} $ 的形变，将其变形为 $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $，该复形在 $ Q_X^\varepsilon $ 上有支撑。
• 利用双类形式和局部化陈特征的形式语言分析该形变，依赖于Todd类和行列式线丛的性质。
• 他们应用第2.4.1节的结论，通过包含映射 $ i: C_{Q_X^\varepsilon}U^\varepsilon \to C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ 的典范定向 $[i]$，将形变复形的局部化陈特征与虚拟类 $[Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}}$ 联系起来。
• 通过Koszul-Thom复形和对偶性的性质，推导出关键恒等式： $$ \mathrm{ch}^{C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}}_{Q_X^\varepsilon}(\{0,m^*t_K\} \otimes \Lambda^\bullet(P^\vee \oplus Q^\vee)) \cap [C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}] = (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} (\mathrm{td}F|_{Q_X^\varepsilon})^{-1} \cdot [Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}} $$
• 最终结果通过验证局部化陈特征表达式在乘以 $ (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} \mathrm{td}F $ 后与虚拟周期一致而得出，从而在 $ \lambda = 0 $ 情况下确认了等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kiem与Li的余截面局部化构造是否等价于与之相关的2-周期Koszul复形的局部化陈特征操作？
• RQ2 能否通过局部化陈特征比较 $ \varepsilon $-稳定双有理映射与相应LG双有理映射的虚拟基本类？
• RQ3 与 $ p $-域相关的2-周期复形的局部化陈特征是否能在存在余截面的情况下恢复虚拟周期？
• RQ4 复形 $ \{p_0^*\sigma, t_F\} $ 到 $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $ 的形变如何影响局部化陈特征的计算？
• RQ5 Todd类与行列式线丛在将局部化陈特征与虚拟周期联系起来的过程中起着何种精确作用？

主要发现

• Kiem与Li的余截面局部化等价于与 $ p $-域相关的2-周期Koszul复形的局部化陈特征操作。
• $ \varepsilon $-稳定双有理映射的虚拟基本类等于其相应LG双有理映射的虚拟基本类，该结果通过局部化陈特征与余截面局部化的等价性得到证明。
• 在 $ C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ 上，形变复形 $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $ 的局部化陈特征计算出虚拟周期 $[Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}}$，仅相差一个符号和Todd类校正。
• 表达式 $ (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} (\mathrm{td}F|_{Q_X^\varepsilon})^{-1} \cdot [Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}} $ 被证明是形变复形的局部化陈特征。
• 典范定向 $[i]$ 满足 $[i]([C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}]) = [C_{Q_X^\varepsilon}U^\varepsilon] $，这对最终等式至关重要。
• 该结果在一般情形下确认了虚拟类的比较，扩展了Chang、Li与Li的前期工作。