[论文解读] Localized States in Quantum Field Theory

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

本文通过区分基矢位置态 |x⟩ 与波包态 |ψ⟩，解决了局域态在相对论性量子场论中长期存在的疑问，证明了洛伦兹协变性得以保持，且超光速展扩并不导致超光速信息传递。研究显示，Reeh-Schrödinger 定理并不排除精确的空间局域化，从而恢复了量子场论中因果律的一致性。

ABSTRACT

Localized states in relativistic quantum field theories are usually considered as problematic, because of their seemingly strange (non covariant) behavior under Lorentz transformations, and because they can spread faster than light. We point out that a careful quantum field theoretic analysis in which we distinguish between basis position states and wave packet states clarifies the issue of Lorentz covariance. The issue of causality is resolved by observing that superluminal transmission of information cannot be achieved by such wave packets. Within this context it follows that the Reef-Schlieder theorem, which proves that localized states can exhibit influence on each other over space like distances, does not imply that such states cannot exist in quantum field theory.

研究动机与目标

• 解决关于局域态是否能在相对论性量子场论中存在这一长期争论。
• 澄清量子场论中基矢位置态与波包态之间的区别。
• 证明由相对论性波包引起的洛伦兹协变性与因果性看似被破坏，实为误解所致。
• 表明 Reeh-Schlieder 定理并不禁止量子态的精确空间局域化。
• 确立超光速波包展扩并不意味着超光速信息传递。

提出的方法

• 区分基矢位置态 |x⟩ 与通过动量本征态叠加构造的波包态 |ψ⟩。
• 采用含时波包形貌 g(t, p) 的二次量子化形式，定义 Fock 空间中的局域态。
• 利用相对论格林函数 G(t, x; 0, 0) 分析初始 δ 函数波包的时间演化，证明在 t=0 时局域化具有洛伦兹不变性。
• 推导两类传播子：用于位置态 |x⟩ 的 G(t′, x′; t, x) 与用于变换态 |˜x⟩ 的 ˜G(t′, x′; t, x)，二者通过场算符 ϕ+(t, x) 关联。
• 对波包形貌 f(t, x) 与 ˜f(t, x) 应用薛定谔方程，表明其对正频率满足 Klein-Gordon 方程。
• 利用内积 ⟨Ψ2(t′)|ψ1(t)⟩ 计算跃迁振幅并推导传播子，包括时间有序形式 ⟨0|Tϕ(x′)ϕ(x)|0⟩。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不破坏洛伦兹协变性的前提下，一致地定义相对论性量子场论中的局域态？
• RQ2 相对论性波包的超光速展扩是否意味着因果性被破坏？
• RQ3 Reeh-Schlieder 定理能否与局域量子态的存在相容？
• RQ4 相对论性量子力学中位置算符的表观非协变性是根本性问题，还是误解所致？
• RQ5 传播子中对类空分离事件的非零振幅是否可用于超光速信息传输？

主要发现

• 初始波包 |ψ(0)⟩ = a†(x₀)|0⟩ = |x₀⟩ 在 t=0 时具有洛伦兹不变性，在所有惯性参考系中均保持局域于 x′=0。
• 传播子 G(t′, x′; t, x) = ⟨x′|eiH(t′−t)|x⟩ 具有洛伦兹协变性，|G(t, x)|² 在光锥上奇异，其余位置为零。
• Reeh-Schlieder 定理并不意味着非局域性，即无法利用其非局域影响实现超光速通信。
• 传播子 ˜G(t′, x′; t, x) = ⟨˜x′|eiH(t′−t)|˜x⟩ 对类空分离具有非零振幅，表达式为 ˜G = (1/π²) m² / √(r²−t²) K₁(m√(r²−t²))，但此现象不违反因果性。
• 波包形貌 f(t, x) 与 ˜f(t, x) 满足关系 ˜f(0, x) = √(2ωx) f(0, x)，二者均在 Fock 空间中定义了合法的单粒子态。
• 概率密度 |f(t, x)|² 恒为正，哈密顿量为正定，确保与量子力学的一致性。