[论文解读] Localizing the Elliott Conjecture at Strongly Self-absorbing C*-algebras --An Appendix

Huaxin Lin|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文为 W. Winter 关于具有局部有限分解秩和有限生成 K-理论的单位元可分简单非阿贝尔 ${\cal Z}$-吸收 $C^*$-代数的分类结果提供了技术支撑。它证明了若两个此类代数的 Elliott 不变量同构，则它们本身同构，通过在 $KK$-理论中使用渐近单位等价性和旋转映射，将 $KK$-同构通过与 UHF 代数张量积提升为 $*$-同构。

ABSTRACT

This note provides some technical support to the proof of a result of W. Winter which shows that two unital separable simple amenable ${\cal Z}$-absorbing C*-algebras with locally finite decomposition property satisfying the UCT whose projections separate the traces are isomorphic if their $K$-theory is finitely generated and their Elliott invariants are the same.

研究动机与目标

• 为 W. Winter 关于具有局部有限分解秩的 ${\cal Z}$-吸收 $C^*$-代数分类结果提供技术基础。
• 建立在与 UHF 代数张量积后 $KK$-同构能提升为 $*$-同构的条件。
• 分析旋转映射 $R_{\varphi,\psi}$ 和 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 不变量在确定渐近单位等价性中的作用。
• 证明在某些 $K$-理论条件下（无挠或缺失素数阶），$KK$-同构在与 ${\cal Z}$ 张量积后能提升为同构。

提出的方法

• 使用映射环面构造 $M_{\varphi,\psi}$ 将同态 $\varphi, \psi: A \to B$ 与 $Ext(A, SB)$ 和 $KK^1(A, SB)$ 中的扩张联系起来。
• 通过单位元 $u(t)$ 的积分 $\frac{1}{2\pi i} \int_0^1 \tau(\frac{du}{dt} u^* ) dt$ 定义旋转映射 $R_{\varphi,\psi}: K_1(M_{\varphi,\psi}) \to \text{Aff}(T(B))$。
• 应用 Dadarlat-Loring 的 $KK$-理论分裂正合序列，当 $A$ 满足 UCT 时，将 $K_1(M_{\varphi,\psi}) \cong K_0(B) \oplus K_1(A)$ 分解。
• 引入不变量 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$ 以检测 $\theta(K_1(A)) \subset \ker R_{\varphi,\psi}$ 的情形，从而确保旋转为平凡。
• 利用定理 2.5 证明：若 $[\varphi_1] = [\varphi_2]$ 在 $KK$ 中，$\tau \circ \varphi_1 = \tau \circ \varphi_2$，且 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$，则 $\varphi_1, \varphi_2$ 是强渐近单位等价的。
• 通过 $KK$-元素构造同构 $\sigma_{\mathfrak{p}}: A \otimes M_{\mathfrak{p}} \to B \otimes M_{\mathfrak{p}}$ 和 $\rho_{\mathfrak{q}}: A \otimes M_{\mathfrak{q}} \to B \otimes M_{\mathfrak{q}}$，并利用其相容性将同构提升至 $A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个 ${\cal Z}$-吸收 $C^*$-代数之间的 $KK$-同构在与 UHF 代数张量积后能提升为 $*$-同构？
• RQ2 旋转映射 $R_{\varphi,\psi}$ 如何检测 $*$-同态渐近单位等价性的障碍？
• RQ3 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 不变量在确保 $KK$-同构能提升为同构中起什么作用？
• RQ4 当 $K_0$ 和 $K_1$ 的挠子群中缺失共同素数阶时，是否能保证 $KK$-同构在张量积后能提升为同构？
• RQ5 能否利用 $A \otimes C$ 对所有 UHF 代数 $C$ 具有迹秩零这一性质，推断出 $A$ 本身也具有迹秩零？

主要发现

• 若 $A$ 和 $B$ 是单位元可分简单非阿贝尔的 ${\cal Z}$-吸收 $C^*$-代数，具有局部有限分解秩和有限生成 $K$-理论，且其 Elliott 不变量同构，则 $A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$。
• 当 $Tor(K_0(A))$ 和 $Tor(K_1(A))$ 缺少共同素数阶时，存在互素的超自然数 $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$，使得 $K_i(A \otimes M_{\mathfrak{p}})$ 在 $i=0,1$ 时为无挠。
• $\sigma_{\mathfrak{p}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{q}}}$ 和 $\rho_{\mathfrak{q}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{p}}}$ 是强渐近单位等价的，从而支持 $KK$-同构的提升。
• 若 $K_i(A) = Tor(K_i(A)) \oplus G_i$ 且 $G_i$ 无挠，则 $A \otimes M_{\mathfrak{p}}$ 具有弱无穿孔的 $K_0$ 和无挠像的 $K_1$，支持 $KK$-同构的提升。
• 对于具有投影分离迹的单位元可分简单 ${\cal Z}$-吸收 ASH-代数 $A$，且 $K_0(A)$ 具有 Riesz 插值性质，若 $K_0(A)/Tor(K_0(A)) \not\cong \mathbb{Z}$，则 $A$ 具有迹秩零，并同构于无维数增长且实秩为零的 AH-代数。
• 该结果表明，在相同的 $K$-理论条件下，$A \cong B \otimes \mathcal{Z}$，其中 $B$ 是一个实秩为零且无维数增长的单位元简单 AH-代数。