[论文解读] Localizing Volatilities

Marc Atlan|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2006

Market Dynamics and Volatility被引用 4

一句话总结

本文利用 Gyöngy (1986) 的模仿扩散定理，建立了随机波动率模型与随机利率之间的严格联系，以及确定性利率下的局部波动率模型。研究推导出基于 Bessel 过程的随机波动率模型中的局部波动率显式公式，并将 Dupire 的局部波动率框架扩展至混合利率-波动率设定，表明局部波动率曲面可从随机波动率模型而非市场期权价格中稳定构建。

ABSTRACT

We propose two main applications of Gyöngy (1986)'s construction of inhomogeneous Markovian stochastic differential equations that mimick the one-dimensional marginals of continuous Itô processes. Firstly, we prove Dupire (1994) and Derman and Kani (1994)'s result. We then present Bessel-based stochastic volatility models in which this relation is used to compute analytical formulas for the local volatility. Secondly, we use these mimicking techniques to extend the well-known local volatility results to a stochastic interest rates framework.

研究动机与目标

• 将 Dupire (1994) 和 Derman 与 Kani (1994) 的局部波动率框架扩展至具有随机利率的模型。
• 证明可通过缩放与条件化性质，从基于 Bessel 过程的随机波动率模型中解析推导出局部波动率曲面。
• 建立一种稳定、基于模型的替代方法，以替代已知数值不稳定的市场隐含局部波动率曲面。
• 在风险中性测度下，形式化局部波动率与混合利率-波动率模型中随机波动率之间的关系。
• 研究股票-波动率相关性及混合相关性风险对局部波动率曲面的影响。

提出的方法

• 应用 Gyöngy (1986) 定理，构造一个非齐次马氏扩散过程，以模仿连续 Itô 过程的一维有限维分布。
• 利用 Bessel 过程及其缩放性质，推导出随机波动率模型中已实现波动率与股票价格联合分布的显式表达式。
• 将局部波动率函数表示为在 T-前向测度下，瞬时方差的条件数学期望：$\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$。
• 将该定理应用于 T-前向测度下的远期利率动态，表明远期价格的局部波动率与随机模型中瞬时波动率的条件期望相匹配。
• 利用 Lévy 面积公式与 Bessel 过程的 Laplace 变换，计算已实现波动率与股票价格的特征函数。
• 推导出一个通用框架，其中波动率扩散是 Bessel 过程的确定性时间与空间变换，从而实现解析可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个具有确定性利率的局部波动率模型，以复制具有随机利率的随机波动率模型中股票价格与波动率的联合分布？
• RQ2 股票与其随机波动率之间的相关性如何影响局部波动率曲面的形状？
• RQ3 能否利用模仿扩散定理，从基于 Bessel 过程的随机波动率模型中推导出局部波动率的显式公式？
• RQ4 在随机利率设定下，混合相关性风险（利率与波动率之间的相关性）在局部波动率曲面校准中起什么作用？
• RQ5 能否从随机波动率模型而非市场期权价格中构建出稳定的局部波动率曲面？其优势是什么？

主要发现

• 在确定性利率模型中，局部波动率曲面可作为随机波动率模型中瞬时方差在 T-前向测度下的条件期望推导得出。
• 公式 $\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$ 为混合模型中的局部波动率提供了闭式表达式。
• 从随机波动率模型构建的局部波动率曲面比通过市场期权价格的 Dupire PDE 方法获得的曲面更平滑、更稳定。
• Bessel 过程提供了一类可处理的随机波动率模型，由于其缩放与条件化性质，使得局部波动率的解析计算成为可能。
• 该框架可同时处理独立与相关的股票-波动率动态，其中相关性参数 $\rho$ 直接影响局部波动率曲面的偏斜。
• 本文证明，在利率为随机的情况下，必须在局部波动率曲面中考虑 (HC)-假设（混合相关性），这意味着市场对混合风险存在风险溢价。