[论文解读] Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL_2

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Dec 9, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 19

一句话总结

本文通过局部解析分布代数 $D(G,K)$ 对局部 $L$-解析群（如 $GL_2(\mathbb{Q}_p)$）的连续表示进行代数化，引入了一类‘可接受的’表示。该文建立了与 $p$-进主系表示相关的 $D(GL_2(\mathbb{Q}_p),K)$-模的代数单纯性，通过一种新方法证明其拓扑不可约性，克服了早期方法中的缺陷。

ABSTRACT

Let L be a finite extension of Qp, and let K be a spherically complete non-archimedean extension field of L. In this paper we introduce a restricted category of continuous representations of locally L-analytic groups G in locally convex K-vector spaces. We call the objects of this category "admissible" representations and we establish some of their basic properties. Most importantly we show that (at least when G is compact) the category of admissible representations in our sense can be algebraized; it is faithfully full (anti)-embedded into the category of modules over the locally analytic distribution algebra D(G,K) of G over K. As an application of our theory, we prove the topological irreducibility of generic members of the p-adic principal series of GL(2,Qp).

研究动机与目标

• 为局部 $L$-解析群发展一种可处理的连续 $K$-值表示理论，以克服巴拿赫空间表示中的病态问题。
• 在局部凸 $K$-向量空间中定义并研究‘可接受’表示作为连续表示的受限类别，以确保有限性条件从而便于处理。
• 通过证明 $D(G,K)$-模与可接受表示范畴之间存在忠实的反向等价，实现可接受表示范畴的代数化。
• 将该理论应用于证明 $GL_2(\mathbb{Q}_p)$ 的通用 $p$-进主系表示的拓扑不可约性，纠正莫伊塔先前证明中的缺陷。
• 通过新代数化框架强化莫伊塔关于 $p$-进主系表示间互换算子的结果。

提出的方法

• 在局部凸 $K$-向量空间中引入可接受表示类别，其中 $K$ 是 $L$ 的球对称非阿基米德扩张。
• 使用局部解析分布代数 $D(G,K)$ 作为工具，实现表示理论的代数化，以代数单纯性替代拓扑不可约性。
• 利用阿米斯的傅里叶同构（$D(\mathbb{Z}_p,K)$ 与开 $p$-进单位圆盘上的幂级数之间）分析分布代数。
• 应用拉扎尔德的结果：在 $K$ 上的幂级数环中每个理想都是主理想，以分析 $L=\mathbb{Q}_p$ 时的 $D(o_L,K)$ 结构。
• 构造一个 $G$-等变、连续且非零的映射 $I$，从主系表示到 $D(G,K)$-模的商模，以建立不可约性。
• 利用主系中局部多项式函数空间是有限维空间的直接极限这一事实，其对偶为完整代数对偶，以分析子商模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为局部 $L$-解析群发展一种统一且可处理的连续 $K$-值表示理论，尽管巴拿赫空间表示存在病态？
• RQ2 可接受表示范畴是否与局部解析分布代数 $D(G,K)$-模的范畴等价？
• RQ3 能否通过一种避免莫伊塔方法中缺陷的代数方法，建立 $GL_2(\mathbb{Q}_p)$ 的 $p$-进主系的拓扑不可约性？
• RQ4 $D(GL_2(\mathbb{Q}_p),K)$-模与 $p$-进主系的关联结构如何？其是否为代数单纯？
• RQ5 在新框架下，$p$-进主系表示之间的互换算子行为如何？能否更精确地描述它们？

主要发现

• 对于紧致局部 $L$-解析群 $G$，其可接受表示范畴通过 $D(G,K)$-模范畴实现忠实且完全的（反向）嵌入。
• 当 $G = GL_2(\mathbb{Q}_p)$ 时，与 $p$-进主系关联的 $D(G,K)$-模是代数单纯模，从而蕴含其拓扑不可约性。
• 不可约性证明基于一种新方法，即表示的代数化，该方法克服了莫伊塔论证中依赖‘局部不可约性’的缺陷。
• 主系中局部多项式函数空间作为 $({\mathfrak{gl}}_2(\mathbb{Q}_p),G)$-模，要么是简单模，要么具有两步滤子，其子商模均为简单模。
• $M_\chi / M_\chi^{(0)}$ 同构于局部多项式函数空间的完整代数对偶，其子商模作为 $D(G,K)$-模通常不是简单模。
• 在命题 6.2 的证明中构造的映射 $I$ 是 $G$-等变、连续且非零的，其在莫伊塔的工作中以较不具概念性的形式出现，归因于卡斯尔曼。