[论文解读] Locally analytic vectors in representations of locally p-adic analytic groups

Matthew Emerton|ArXiv.org|May 7, 2004

Advanced Algebra and Geometry被引用 12

一句话总结

本文通过聚焦于不同解析半径的巴拿赫空间的归纳极限，为局部解析表示理论构建了一个基础框架。它引入了本质可接受表示的概念，并证明了在局部代数情形下，$G \times \Gamma$ 的可接受局部解析表示均配备其最优凸拓扑，为研究 $p$-进自守形式与对称空间提供了关键工具。

ABSTRACT

This paper develops various foundational results in the locally analytic representation theory of p-adic groups. In particular, we define the functor ``pass to locally analytic vectors'', which attaches to any continuous representation of a p-adic analytic group on a locally convex p-adic topological vector space the associated space of locally analytic vectors. Using this functor, and the point of view that its construction suggests, we establish some basic facts about admissible locally analytic representations (as defined by Schneider and Teitelbaum). We also introduce the related notion of essentially admissible locally analytic representations.

研究动机与目标

• 建立一个以解析向量的归纳极限结构为中心的系统性局部解析表示理论框架。
• 定义并分析局部解析向量 $V_{\text{la}}$ 的空间，其拓扑比以往使用的更精细、更自然。
• 引入本质可接受表示的概念，这对 $p$-进自守形式的应用至关重要。
• 阐明在可接受表示中，局部代数向量的拓扑与表示论性质。
• 为研究 $p$-进对称空间及算术几何中的上同调构造提供基础工具。

提出的方法

• 将 $V_{\text{la}}$ 定义为 $G$ 的解析开子群 ${\mathbb{H}}$ 的 ${\mathbb{H}}$-解析向量空间 $V_{{\mathbb{H}}-\text{an}}$ 的局部凸归纳极限。
• 为 $V_{\text{la}}$ 赋予比 $\mathcal{C}^{\text{la}}(G,V)$ 子空间拓扑更精细的拓扑，使其成为巴拿赫空间的严格归纳极限。
• 利用图表 $(\phi, H, \mathbb{H})$ 在 $G$ 上定义局部解析结构，将 $H \cong \mathbb{H}(L)$ 识别为刚性解析群。
• 为范畴 $\mathcal{R}$ 中的对象 $W$ 定义局部 $W$-代数向量 $V_{W-\text{lalg}}$，并证明其函子性与闭性。
• 证明在可接受表示中，$V_{W-\text{lalg}}$ 是闭的，且对不可约 $W$ 的直和通过自然同构给出 $V_{\text{lalg}}$。
• 证明局部代数的可接受局部解析表示 $G \times \Gamma$ 同构于 $U \otimes_B W$，其中 $U$ 是 $G \times \Gamma$ 上的可接受光滑表示，$B = \text{End}_G(W)$，且此类表示配备其最优凸拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为表示中局部解析向量的空间赋予一种拓扑，使其能反映其作为巴拿赫空间归纳极限的结构？
• RQ2 在何种条件下，局部代数向量的子空间在可接受的局部解析表示中是闭的？
• RQ3 在何种意义上，$G \times \Gamma$ 的可接受局部解析表示可分解为光滑部分与代数部分的张量积？
• RQ4 最优凸拓扑在局部代数可接受表示的语境中如何自然出现？
• RQ5 解析向量的归纳极限结构在 $p$-进对称空间及上同调构造研究中起什么作用？

主要发现

• 局部解析向量空间 $V_{\text{la}}$ 自然地配备一种拓扑，使其成为巴拿赫空间的局部凸归纳极限，该拓扑比以往工作所用更精细。
• 对于具有 ${\mathbb{G}}$-解析作用的巴拿赫空间上的表示，$V_{{\mathbb{G}}-\text{an}}$ 定义为从这些巴拿赫空间出发的 $G$-等变映射的归纳极限。
• 当 $V$ 是 $G \times \Gamma$ 的可接受局部解析表示时，局部 $W$-代数向量子空间 $V_{W-\text{lalg}}$ 在 $V$ 中是闭的，如命题 7.2.13 所示。
• 直和 $\bigoplus_{W \in \hat{\mathbb{G}}} V_{W-\text{lalg}}$ 同构于 $V_{\text{lalg}}$，从而确立了局部代数向量的自然分解。
• 若 $G \times \Gamma$ 的可接受局部解析表示 $V$ 是局部代数的，则其配备最优凸拓扑，如命题 7.2.14 所证明。
• 任何局部 $W$-代数的可接受局部解析表示均可表示为 $U \otimes_B W$，其中 $U$ 是 $G \times \Gamma$ 上关于有限维 $K$-代数 $B = \text{End}_G(W)$ 的可接受光滑表示，如命题 7.2.15 所述。