[论文解读] Locally Compact Contractive Local Groups

Lou van den Dries, Isaac Goldbring|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文通过在局部紧局部群背景下引入拟自同构的压缩性概念，建立了关于局部紧压缩群的全局结果的局部类比。证明了局部连通的局部紧压缩局部群局部同构于压缩李群，且更一般地，此类群局部同构于一个压缩李群与一个具有压缩近自同构的完全不连通群的直积。

ABSTRACT

We study locally compact contractive local groups, that is, locally compact local groups with a contractive pseudo-automorphism. We prove that if such an object is locally connected, then it is locally isomorphic to a Lie group. We also prove a related structure theorem for locally compact contractive local groups which are not necessarily locally connected. These results are local analogues of theorems for locally compact contractive groups.

研究动机与目标

• 建立局部群设定下关于局部紧压缩群的全局定理的局部类比。
• 研究非必然局部连通的局部紧压缩局部群的结构。
• 将 Mal’cev 嵌入定理推广至在压缩动力学下具有广义结合性的局部群。
• 证明局部连通的局部紧压缩局部群局部同构于压缩李群。
• 通过将群分解为李群与完全不连通部分，推导出局部紧压缩局部群的一般结构定理。

提出的方法

• 为局部群引入压缩拟自同构的概念，其定义基于局部单射性、开性以及迭代下收敛于单位元。
• 利用 Mal’cev 定理，通过词构造和可接受序列将全局结合性良好且结构清晰的局部群嵌入拓扑群。
• 证明强压缩性蕴含广义结合性，从而可应用 Mal’cev 嵌入定理。
• 应用局部希尔伯特第五问题结果，将问题约化为全局群结构定理。
• 通过伪自同构迭代下对称邻域的像构造邻域基，以实现拓扑控制。
• 利用压缩近自同构将全局群分解为连通部分与完全不连通部分，借助已知的李群结构结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将“局部紧连通压缩群为李群”这一全局结果局部化至局部群设定？
• RQ2 在何种条件下，局部群上的压缩拟自同构能确保嵌入拓扑群所必需的全局结合性？
• RQ3 一个非局部连通的局部紧压缩局部群具有怎样的结构？
• RQ4 是否可在不假设全局群结构的前提下建立与李群的局部同构？
• RQ5 压缩拟自同构的存在如何影响局部群向连通与完全不连通部分的分解？

主要发现

• 若一个局部紧且局部连通的局部群允许存在压缩拟自同构，则其局部同构于一个压缩李群。
• Mal’cev 嵌入定理所需的广义结合性条件，由具有强压缩拟自同构的局部群满足。
• 一个局部紧压缩局部群局部同构于一个压缩李群与一个具有压缩近自同构的完全不连通局部紧群的直积。
• 压缩拟自同构的存在确保了对称邻域基的构造，这些邻域在迭代下不变且收缩至单位元。
• 通过 Mal’cev 嵌入得到的全局群的连通部分是一个压缩李群，这由已知的全局定理保证。
• 非局部连通情形的一般结构定理依赖于通过压缩近自同构将全局群分解为连通李部分与完全不连通部分。