[论文解读] Locally conformal Kaehler reduction

Rosa Gini, Liviu Ornea+1 more|ArXiv.org|Aug 27, 2002

Microtubule and mitosis dynamics参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文通过为扭曲哈密顿作用定义动量映射，建立了局部共形凯勒（LCK）流形的新约化理论，证明其与未发表的比卡尔-戈当构造等价。此外，本文还展示了LCK约化与万有覆叠的凯勒约化以及Sasaki约化的相容性，从而可通过球面和复射影空间上的加权Sasaki结构约化构造出新的Vaisman流形。

ABSTRACT

We define reduction of locally conformal Kaehler manifolds, considered as conformal Hermitian manifolds, and we show its equivalence with an unpublished construction given by Biquard and Gauduchon. We show the compatibility between this reduction and Kaehler reduction of the universal cover. By a recent result of Kamishima and the second author, in the Vaisman case (that is, when a metric in the conformal class has parallel Lee form) if the manifold is compact its universal cover comes equipped with the structure of Kaehler cone over a Sasaki compact manifold. We show the compatibility between our reduction and Sasaki reduction, hence describing a subgroup of automorphisms whose action causes reduction to bear a Vaisman structure. Then we apply this theory to construct a wide class of Vaisman manifolds.

研究动机与目标

• 通过扭曲哈密顿群作用定义LCK流形的一致约化程序。
• 证明所提出的约化与未发表的比卡尔-戈当商构造在LCK情形下的等价性。
• 建立LCK约化与万有覆叠的凯勒约化之间的相容性，特别是在Vaisman情形下。
• 展示LCK约化与Sasaki约化的相容性，从而通过Sasaki商构造新的Vaisman流形。
• 将该理论应用于生成一大类Vaisman流形，包括与透镜空间微分同胚、球面乘积以及复射影空间与S¹的乘积的流形。

提出的方法

• 通过Vaisman（1985）提出的扭曲哈密顿作用概念，为局部共形凯勒自同构作用引入动量映射。
• 通过在自由且适当的群作用下对动量映射的零水平集取商，构造LCK流形的约化。
• 证明原LCK流形上的复结构可下拉至商流形，从而保持LCK结构。
• 通过证明万有覆叠具有共形凯勒结构，建立LCK约化与万有覆叠的凯勒约化的联系。
• 通过锥构造将约化程序应用于Sasaki流形，利用球面上的加权S¹作用生成商流形。
• 利用水平集μ⁻¹(0)与球面或复射影空间乘积之间的微分同胚，对约化后Vaisman流形的拓扑类型进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扭曲哈密顿群作用为LCK流形定义一致的基于动量映射的约化？
• RQ2 所提出的约化是否与LCK情形下未发表的比卡尔-戈当商构造等价？
• RQ3 LCK约化如何与万有覆叠上的凯勒约化相关联，特别是在Vaisman情形下？
• RQ4 Sasaki约化能否被提升以在商流形上产生Vaisman结构？
• RQ5 通过此约化程序可构造出哪些拓扑类型的Vaisman流形？

主要发现

• 所提出的LCK约化与比卡尔-戈当构造等价，验证了新动量映射方法的有效性。
• 在Vaisman情形下，万有覆叠（一个凯勒锥）的约化对应于凯勒约化，表明全局与局部约化程序之间具有强相容性。
• 对球面上加权S¹作用的Sasaki约化产生微分同胚于球面乘积、透镜空间或复射影空间的商流形。
• 当权重中一个为负、其余为正时，商流形S(Λ)微分同胚于S²ⁿ⁻³；当两个为负、两个为正时，其微分同胚于S³×S³。
• 该构造在(S⁴ˢ⁻¹×ℂℙ²ˢ⁻¹)×S¹上产生一族Vaisman结构（当n=4s时），推广了已知的如Hopf曲面和透镜空间丛等例子。
• 具体例子包括在L(p,1)×S¹上构造的Vaisman结构（当n=3时），以及在S³×S²×S¹上构造的Vaisman结构（当n=4时），后者作为twistor空间可赋予半凯勒结构。