[论文解读] Locally conformal parallel $G_2$ and $Spin(7)$ manifolds

Stefan Ivanov, Maurizio Parton+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文将紧致的局部共形平行 G₂ 与 Spin(7) 流形表征为分别以紧致近凯勒或近平行 G₂ 流形为纤维的圆丛，且带有有限群作用。关键结果表明，此类结构源于具有特定齐次纤维几何的 S¹ 上纤维丛，当局部结构为平坦时，流形即为球面空间形式与 S¹ 的乘积。

ABSTRACT

We characterize compact locally conformal parallel $G_2$ (respectively, $Spin(7)$) manifolds as fiber bundles over $S^1$ with compact nearly Kähler (respectively, compact nearly parallel $G_2$) fiber. A more specific characterization is provided when the local parallel structures are flat.

研究动机与目标

• 对 admit 局部共形平行 G₂ 与 Spin(7) 结构的紧致黎曼 7- 和 8-流形进行分类。
• 通过 S¹ 上的纤维丛理解此类流形的全局几何结构。
• 将平坦的局部共形平行结构的分类简化为识别在 S⁷ 上自由作用的 Spin(7) 的有限子群。
• 通过锥覆盖与群商构造提供这些结构的几何实现。
• 将此类结构的存在性与已知的球面空间形式及近平行 G₂ 流形分类联系起来。

提出的方法

• 利用李形式 θ 表征局部共形平行结构，其中 dθ = 0，且基本形式满足：对 G₂ 有 dω = (3/4)θ ∧ ω，对 Spin(7) 有 dφ = θ ∧ φ。
• 将辛几何中的商构造技术应用于具有紧致近凯勒或近平行 G₂ 纤维的 S¹ 上纤维丛。
• 将流形的万有覆盖构造为纤维 N/Γ 上的锥，其覆盖群为循环无限群。
• 利用平坦的局部共形平行 G₂ 与 Spin(7) 结构源于 R⁷ 与 R⁸ 上平坦度量的共形重缩放的事实。
• 利用 Spin(7) 的八元数结构，通过虚八元数的右乘法生成在 S⁷ 上自由作用的 Spin(7) 的有限子群。
• 应用 J. Wolf 对 SO(8) 的有限子群的分类，识别出哪些商 S⁷/Γ 能产生与 Spin(7) 结构相容的光滑球面空间形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有局部共形平行 G₂ 结构的紧致流形的全局拓扑结构是什么？
• RQ2 局部共形平行 Spin(7) 结构与纤维上近平行 G₂ 结构之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，紧致 8-流形上的平坦局部共形平行 Spin(7) 结构源于 S⁷ × S¹ 的商？
• RQ4 哪些 SO(8) 的有限子群包含于 Spin(7) 且在 S⁷ 上自由作用，从而产生光滑球面空间形式？
• RQ5 所有紧致的平坦局部共形平行 Spin(7) 流形是否都能实现为 (S⁷/Γ) × S¹ 的形式，其中 Γ 是包含于 Spin(7) 的有限群？

主要发现

• 紧致 7-流形 admits 局部共形平行 G₂ 结构当且仅当其为 S¹ 上的纤维丛，其纤维为紧致单连通近凯勒 6-流形 N/Γ，其中 Γ 为自由作用的复等距有限群。
• 纤维 N/Γ 上的锥覆盖了流形 M，且覆盖群为循环无限群，从而建立了与锥构造的几何联系。
• 对于平坦的局部共形平行 G₂ 结构，流形为 S⁶ 上的平凡圆丛，即标准近凯勒 6-球面。
• 紧致 8-流形 admits 局部共形平行 Spin(7) 结构当且仅当其为 S¹ 上的纤维丛，其纤维为紧致单连通近平行 G₂ 流形 N/Γ，其中 Γ 为自由作用的等距有限群。
• 在平坦情形下，流形微分同胚于 (S⁷/Γ) × S¹，其中 Γ 为在 S⁷ 上自由作用的 Spin(7) 的有限子群。
• 所有此类平坦的局部共形平行 Spin(7) 结构均源于包含于 SO(8) 且在 S⁷ 上自由作用的 Spin(7) 的有限子群，其分类由 J. Wolf 给出。