[论文解读] Locally conformally Kähler manifolds. A selection of results

Liviu Ornea|ArXiv.org|Nov 23, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用 16

一句话总结

本文综述了1997年以后局部共形凯勒（l.c.K.）几何的最新进展，重点关注维斯曼结构、具势的l.c.K.流形及其与萨萨基几何的关系。文章建立了嵌入定理、约化程序和稳定性结果，同时指出了在模空间、奇点、曲率以及紧致l.c.K.流形的基本群方面存在的开放问题。

ABSTRACT

I present a selection of results on locally conformally Kähler geometry published after 1997. The proofs are mainly sketched, some of them are even omitted. Several open problems are indicated in the end.

研究动机与目标

• 综合并总结1997年以来局部共形凯勒几何的关键进展，特别关注维斯曼流形和具势的l.c.K.流形。
• 阐明l.c.K.几何与萨萨基几何之间的关系，尤其是通过锥构造和约化理论。
• 提出新的结构性结果，包括嵌入定理和紧致l.c.K.流形在小形变下的稳定性。
• 识别并提出l.c.K.流形模空间、奇点、曲率以及基本群方面的开放问题。
• 探讨l.c.K.约化与最小表示的相容性，以及几何不变量（如秩和维斯曼结构）的保持性。

提出的方法

• 利用紧致维斯曼流形上的高斯东度量发展稳定性理论，并分析调和形式与向量场。
• 通过锥构造应用辛和凯勒约化技术于l.c.K.结构，将萨萨基流形的约化提升至维斯曼流形。
• 利用权丛和李形式对l.c.K.流形的最小表示，推广约化与嵌入定理。
• 应用代数几何技术，包括多尔贝奥特定理与消去定理，推导维斯曼流形的科达拉型嵌入结果。
• 利用具势的l.c.K.结构概念推广霍普夫流形，并证明在复维数≥3时，可将此类流形嵌入线性霍普夫流形中。
• 提出l.c.K.结构的新等价定义，通过表示形式增强对凯勒-l.c.K.对偶性的理解，并提供l.c.K.结构的新不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致维斯曼流形的结构是怎样的？其通过锥构造与萨萨基几何的关系如何？
• RQ2 复维数≥3的紧致具势l.c.K.流形能否嵌入线性霍普夫流形中？此类嵌入的条件是什么？
• RQ3 哪些非零欧拉-庞加莱示性数的紧致复曲面允许具有l.c.K.度量，特别是那些未被贝耳贡分类覆盖的情况？
• RQ4 具势的l.c.K.流形类在l.c.K.约化下是否保持不变？非维斯曼流形的约化是否产生维斯曼商流形？
• RQ5 鉴于$d^\theta$-上同调的平凡性及莫尔斯理论的局限性，能否为l.c.K.流形建立凸性理论？

主要发现

• 紧致维斯曼流形在拓扑和几何上均被完全分类，其结构可通过锥构造约化为萨萨基几何。
• 任何复维数至少为3的紧致具势l.c.K.流形均可全纯嵌入线性霍普夫流形中。
• l.c.K.约化过程保持最小表示和l.c.K.结构的秩，约化流形继承自原始流形的最小表示。
• 通过哈密顿作用研究l.c.K.流形的自同构群，且约化过程与维斯曼流形的结构定理相容。
• l.c.K.流形的类里奇曲率与韦尔-里奇张量对拓扑施加限制，尤其在爱因斯坦-韦尔情形下。
• 通过表示形式提出l.c.K.结构的新等价定义，澄清了其与凯勒几何的对偶性，并为l.c.K.结构提供了新的不变量。