[论文解读] Locally conformally Kaehler metrics on Kato surfaces

Marco Brunella|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Geometry and complex manifolds被引用 10

一句话总结

本文通过在万有覆叠上构造一个在提升变换下共形变换的凯勒形式，证明了每个卡托曲面都 admits 局部共形凯勒（lcK）度量。该构造使用势函数、强拟凸函数的正则化以及通过全纯嵌入 σ∘π 的共形粘合，确立了万有覆叠是凯勒的，从而证实了所有卡托曲面上 lcK 度量的存在性。

ABSTRACT

We show that every Kato surface (or surface with a global spherical shell) admits a locally conformally Kaehler metric.

研究动机与目标

• 建立所有卡托曲面上局部共形凯勒度量的存在性。
• 通过不依赖稳定性结果的构造方法，填补先前工作中存在的空白。
• 证明卡托曲面的万有覆叠是凯勒的，这是主定理的推论。
• 提供一种使用势函数和正则化构造 lcK 度量的方法。
• 证明该构造可参数化地推广至卡托曲面族。

提出的方法

• 在 ℂ² 中单位球的爆破上构造一个凯勒形式 ω₀，然后在 σ(0) 附近使用在 0 处具有莫尔斯极小值的严格拟凸势函数 φ 对其进行修改。
• 通过用 φ − ReM 替换 φ 来正则化势函数 φ，以确保在 0 处具有极小值，然后使用比较函数 ρ = λ(1 + ||z||²) 在 B 上定义一个新势函数。
• 通过将 ω₀ 与正则化势函数的 ddᶜ 粘合，定义爆破上的新凯勒形式 ω₁，确保在 B_r 的邻域内有 σ*ω₁ = ddᶜρ。
• 通过拉回 π*ω₁ 的正则化势函数，在 ∂B_r 的更小邻域上修改 ω₁，得到具有在 ∂B_r 附近受控行为的新形式 ω₂。
• 确保 ω₂ 满足 π*ω₂ = c₁ddᶜρ + c₂ 在 ∂B_r 附近，且 ω₂ = ω₁ 在更大的紧子集上成立，从而保持共形结构。
• 利用共形性质 (σ∘π)*ω₂|_U = (1/c₁)ω₂|_V 在重叠邻域上实现共形粘合，从而在卡托曲面 S 上得到一个整体定义的 lcK 度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个卡托曲面是否都 admits 局部共形凯勒度量，无论其拓扑或复结构如何？
• RQ2 该度量的存在性能否在不依赖稳定性定理的情况下被构造性地证明？
• RQ3 卡托曲面的万有覆叠是否是凯勒的，且这是否由基空间上 lcK 度量的存在性所推出？
• RQ4 该构造能否推广至卡托曲面族，从而得到一个光滑的 lcK 度量族？
• RQ5 参数化构造有效半径的集合 I(S) ⊂ (0,1) 的结构是什么？

主要发现

• 每个卡托曲面都 admits 局部共形凯勒度量，证实了一个猜想并完善了先前的结果。
• 任何卡托曲面的万有覆叠都是凯勒的，这是基空间上 lcK 度量存在的推论。
• 该构造在单位球的爆破上产生一个凯勒形式，该形式通过映射 σ∘π 在提升变换下共形变换。
• 粘合条件中的共形因子 c₁ 可以任意大，意味着 I(S) 包含某个 ε > 0 的区间 (0,ε)。
• 该方法可推广至卡托曲面族，从而在参数圆盘上得到一个光滑的 lcK 度量族，尽管不一定能获得先前工作中完整的稳定性结果。
• 关键技术创新在于拟凸势函数的正则化以及使用比较函数来控制在奇点附近的性质。