[论文解读] Locally Convex Valued Rectangular Metric Spaces and The Kannan's Fixed Point Theorem

Thabet Abdeljawad, Duran Türkoğlu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了矩形TVS-锥度量空间，并在不假设锥的正规性条件下建立了Kannan型不动点定理。提供了两种证明方法：一种是直接方法，另一种是利用非线性标量化的新方法，推广了此前在锥度量空间和矩形度量空间中的结果。

ABSTRACT

Rectangular TVS-cone metric spaces are introduced and Kannan's fixed point theorem is proved in these spaces. Two approaches are followed for the proof. At first we prove the theorem by a direct method using the structure of the space itself. Secondly, we use the nonlinear scalarization used recently by Wei-Shih Du in [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, {Nonlinear Analysis},72(5),2259-2261 (2010).] to prove the equivalence of the Banach contraction principle in cone metric spaces and usual metric spaces. The proof is done without any normality assumption on the cone of the locally convex topological vector space, and hence generalizing several previously obtained results.

研究动机与目标

• 引入并形式化矩形TVS-锥度量空间的概念，作为锥度量空间和矩形度量空间的推广。
• 在不假设锥正规性的前提下，于矩形TVS-锥度量空间中建立Kannan型不动点定理。
• 提供两种不同的不动点定理证明：一种是直接利用空间结构的方法，另一种是通过非线性标量化的方法。
• 推广现有在锥度量空间和矩形度量空间中的结果，包括经典的Kannan定理。
• 通过标量化方法，证明矩形TVS-锥度量空间中的不动点定理与矩形度量空间中不动点定理的等价性。

提出的方法

• 通过在TVS-锥度量空间中增加矩形不等式条件，定义矩形TVS-锥度量空间。
• 利用非线性标量化函数 $\xi_e(y) = \inf\{t \in \mathbb{R} : y \in te - P\}$ 将向量值距离映射为实值度量。
• 证明复合函数 $d_p = \xi_e \circ p$ 在 $X$ 上诱导出一个矩形度量，从而建立R-TVS-CMS与R-MS之间的联系。
• 在所得的矩形度量空间 $(X, d_p)$ 中应用Kannan的不动点定理，推断出原空间中不动点的存在性。
• 利用 $\xi_e$ 的连续性及其性质，包括正齐次性和次可加性，以保持收敛性和柯西列的性质。
• 通过标量化函数建立R-TVS-CMS中收敛性与柯西列性质与诱导的矩形度量空间中相应性质的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kannan型不动点定理能否在不假设锥正规性的前提下推广到矩形TVS-锥度量空间？
• RQ2 非线性标量化函数 $\xi_e$ 如何促进不动点结果从向量值空间到实值度量空间的转移？
• RQ3 矩形TVS-锥度量空间中的收敛性与柯西列性质与其标量化后的矩形度量空间对应性质之间存在何种关系？
• RQ4 与基于标量化的方法相比，直接证明方法在复杂性和一般性方面有何差异？
• RQ5 该新框架在多大程度上推广了此前在锥度量空间和矩形度量空间中的结果？

主要发现

• 本文在不假设锥正规性的前提下，建立了矩形TVS-锥度量空间中的Kannan型不动点定理。
• 非线性标量化函数 $\xi_e$ 在 $X$ 上诱导出一个矩形度量 $d_p = \xi_e \circ p$，将向量值问题转化为标准度量问题。
• R-TVS-CMS中的收敛性与柯西列性质与诱导的矩形度量空间 $(X, d_p)$ 中的相应性质等价，如引理3.2所示。
• 基于标量化的方法将R-TVS-CMS中的不动点结果简化为标准矩形度量空间中的Kannan定理，从而简化了论证过程。
• 直接证明方法构造了一个柯西列 $\{T^n x\}$，满足 $d(T^n x, T^{n+m} x) \leq \frac{r^n}{1 - r} d(x, Tx)$，由于轨道完备性而收敛。
• 不动点唯一，且在条件 $\beta < \frac{1}{2}$ 下证明成立，确保压缩不等式能导致收敛。