[论文解读] Locally homogeneous triples. Extension theorems for parallel sections and parallel bundle isomorphisms

Arash Bazdar|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过将问题约化为在万有覆盖上对全局齐性几何结构进行分类，建立了对局部齐性三元组（即黎曼流形、主丛和联络）的分类定理。关键贡献在于通过水平提升对平行丛同构进行刻画，并建立了丛同构与关联丛上平行截面之间的双射对应关系，从而实现了黎曼曲面上此类结构模空间的构造。

ABSTRACT

Let $M$ be a differentiable manifold and $K$ a Lie group. A locally homogeneous triple with structure group $K$ on $M$ is a triple $(g, P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$, where $p:P\ o M$ is a principal $K$-bundle on $M$, $g$ is Riemannian metric on $M$, and $A$ is connection on $P$ such that the following locally homogeneity condition is satisfied: for every two points $x$, $x'\\in M$ there exists an isometry $\\varphi:U\ o U'$ between open neighborhoods $U\ i x$, $U'\ i x'$ with $\\varphi(x)=x'$, and a $\\varphi$-covering bundle isomorphism $\\Phi:P_U\ o P_{U'}$ such that $\\Phi^*(A_{U'})=A_U$. If $(g,P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$ is a locally homogeneous triple on $M$, one can endow the total space $P$ with a locally homogeneous Riemannian metric such that $p$ becomes a Riemannian submersion and $K$ acts by isometries. Therefore the classification of locally homogeneous triples on a given manifold $M$ is an important problem: it gives an interesting class of geometric manifolds which are fibre bundles over $M$. In this article we will prove a classification theorem for locally homogeneous triples. We will use this result in a future article in order to describe explicitly moduli spaces of locally homogeneous triples on Riemann surfaces.

研究动机与目标

• 对流形 M 上的局部齐性三元组进行分类，其推广了局部齐性黎曼度量和联络。
• 将 M 上局部齐性几何结构的分类约化为对其万有覆盖上全局齐性结构的分类。
• 在局部齐性三元组的背景下，建立平行截面与平行丛同构的延拓定理。
• 为在黎曼曲面上显式描述结构群为 SU(2) 和 PU(2) 的此类三元组的模空间提供基础。

提出的方法

• 利用 M 的万有覆盖 ˜M 将局部齐性三元组上拉为全局齐性结构。
• 在主丛 K 的全空间 P 上构造一个黎曼度量，使得投影 p:P→M 成为具有 K 作用为等距变换的黎曼次蒙张。
• 通过 (K×K)-等变映射建立丛同构与关联丛 I(P,P′) 的截面之间的对应关系，以刻画平行截面。
• 建立双射对应 S:Hom_id(P,P′)→Γ(M,I(P,P′))，将保持联络的同构与关于乘积联络 Γ^{A×A′} 的平行截面联系起来。
• 证明丛同构 Φ 满足 Φ*(A′)=A 当且仅当相应截面 σ^Φ 关于 I(P,P′) 上的 (A,A′)-水平分布是平行的。
• 利用水平提升与垂直切空间分解分析 Φ 的微分，推导出 Φ 保持联络的条件为 σ^Φ_*|_H = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用其万有覆盖的几何结构对流形 M 上的局部齐性三元组进行分类？
• RQ2 在局部齐性结构背景下，何种条件可确保主丛之间的丛同构保持联络？
• RQ3 如何利用关联丛 I(P,P′) 的平行截面来刻画保持联络的丛同构？
• RQ4 主丛同构与关联丛 I(P,P′) 的截面之间的确切对应关系是什么？
• RQ5 平行截面与同构的延拓定理如何促进局部齐性三元组模空间的构造？

主要发现

• 流形 M 上的局部齐性三元组 (g,P→M,A) 上拉至全空间 P 上的全局齐性黎曼度量，使得 p 成为黎曼次蒙张，K 成为等距变换群。
• 存在自然双射，连接保持单位覆盖的 K-丛同构空间与关联丛 I(P,P′) 的截面空间。
• 丛同构 Φ 满足 Φ*(A′)=A 当且仅当相应截面 σ^Φ 关于 I(P,P′) 上的联络 Γ^{A×A′} 是平行的。
• Φ 的微分将水平子空间映射到水平子空间，当且仅当 σ^Φ 的导数在 P×_M P′ 的水平分布上为零。
• 条件 σ^Φ_*|_H = 0 是 Φ 保持联络 A′ 的必要且充分条件。
• 该理论通过将问题约化为在万有覆盖 ˜M 上对与覆盖群作用相容的齐性 G-不变结构进行分类，实现了对局部齐性三元组的系统分类。