[论文解读] Locally Indistinguishable Subspaces Spanned by Three-Qubit Unextendible Product Bases

Runyao Duan, Yu Xin+1 more|ArXiv.org|Aug 27, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 10

一句话总结

该论文证明了任意由三-qubit 无扩展性乘积基（UPB）张成的子空间的正交基在LOCC下均为局部不可区分，从而证明了三-qubit系统中存在维度为4的局部不可区分子空间。此外，该文进一步构造了维度为3和5的此类子空间的显式例子，表明在三-qubit系统中，局部不可区分性的最小可能维度为3。

ABSTRACT

We study the local distinguishability of general multi-qubit states and show that local projective measurements and classical communication are as powerful as the most general local measurements and classical communication. Remarkably, this indicates that the local distinguishability of multi-qubit states can be decided efficiently. Another useful consequence is that a set of orthogonal $n$-qubit states is locally distinguishable only if the summation of their orthogonal Schmidt numbers is less than the total dimension $2^n$. When $n=2$ such a condition is also sufficient. Employing these results, we show that any orthonormal basis of a subspace spanned by arbitrary three-qubit orthogonal unextendible product bases (UPB) cannot be exactly distinguishable by local operations and classical communication. This not only reveals another intrinsic property of three-qubit orthogonal UPB, but also provides a class of locally indistinguishable subspaces with dimension 4. We also explicitly construct locally indistinguishable subspaces with dimensions 3 and 5, respectively. In particular, 3 is the minimal possible dimension of locally indistinguishable subspaces. Combining with the previous results, we conclude that any positive integer between 3 and 7 is the possible dimension of some three-qubit locally indistinguishable subspace.

研究动机与目标

• 确定三-qubit系统中局部不可区分子空间的最小维度。
• 研究由正交无扩展性乘积基（UPB）张成的子空间在LOCC下是否必然局部不可区分。
• 构造维度为3、4和5的局部不可区分子空间的显式例子。
• 探讨正交施密特数之和在决定多-qubit态局部可区分性中的作用。
• 证明三-qubit态空间可分解为两个正交、无扩展性、纠缠子空间，从而产生一类新的局部不可区分混合态。

提出的方法

• 利用施密特数之和准则：一组正交的n-qubit态仅在它们的正交施密特数之和 ≤ 2^n 时才可局部区分。
• 将该准则应用于由三-qubit UPB 张成的子空间，表明当施密特数之和超过维度阈值时，此类子空间在LOCC下不可局部区分。
• 构造了一个5维子空间，其中包含唯一一个乘积态，通过施密特数之和论证证明其局部不可区分性。
• 使用显式态向量构造来验证正交性与局部不可区分性，包括对唯一乘积态的代数验证。
• 分析各方（爱丽丝、鲍勃、查尔斯）进行局部投影测量后的测量结果，以排除LOCC可区分性。
• 证明三-qubit态空间可分解为两个正交、纠缠、无扩展性子空间，从而产生一类新的局部不可区分混合态。

实验结果

研究问题

• RQ1 三元系统中局部不可区分子空间的最小可能维度是多少？
• RQ2 由正交无扩展性乘积基（UPB）张成的子空间在LOCC下是否必然局部不可区分？
• RQ3 三元系统中是否存在维度为5的局部不可区分子空间？若存在，如何构造？
• RQ4 正交施密特数之和在决定多-qubit态局部可区分性中起什么作用？
• RQ5 三-qubit态空间能否被分解为两个正交、无扩展性、纠缠子空间？这对局部可区分性有何影响？

主要发现

• 三元系统中局部不可区分子空间的最小维度为3，且此类子空间存在。
• 任何由三元正交UPB张成的子空间在LOCC下均不可局部区分，从而确立了维度为4的新一类此类子空间。
• 显式构造了一个包含恰好一个乘积态的五维三元子空间，通过施密特数之和准则证明其局部不可区分性。
• 任何局部可区分子空间的正交基的正交施密特数之和不能超过8（即2^3），且该上界是紧致的。
• 三-qubit态空间可被分解为两个正交、无扩展性、纠缠子空间，从而产生一对即使在概率意义上也局部不可区分的正交混合态。
• 局部投影测量与经典通信足以判断多-qubit态的局部可区分性，意味着该问题可高效判定。