[论文解读] Locally inertial coordinates with totally antisymmetric torsion

M. Socolovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文证明，在时空某一点处，若扭率完全反对称，则等效原理成立的充要条件是扭张量的对称部分为零，从而可在不假设扭率为零的前提下实现局部惯性坐标系。推导了测地线偏离方程与牛顿极限，确认在弱场区域与标准引力理论相容。

ABSTRACT

We show that the necessary and sufficient condition for erecting locally inertial coordinates at a point $p$ of a $U^4$-space, and therefore assuring the validity of the equivalence principle at that point, is the vanishing at $p$ of the symmetric part of the contortion tensor. This fact does not demand a vanishing torsion, but only a totally antisymmetric one. As an application, we derive the geodesic deviation equation; and prove the compatibility with the Newtonian limit.

研究动机与目标

• 建立在具有扭率的时空背景下，局部惯性坐标存在的必要与充分条件。
• 研究当扭率非零但完全反对称时，等效原理是否仍然有效。
• 在具有完全反对称扭率的黎曼-嘉当时空背景下推导测地线偏离方程。
• 验证完全反对称扭率与测地线运动牛顿极限的相容性。
• 阐明扭张量对称部分在扭率存在下定义惯性系的作用。

提出的方法

• 通过仅利用扭张量对称分量，推导出可消除连接对称部分的坐标变换。
• 应用度规相容性条件与张量变换规则，证明当扭张量对称部分为零时，度规的一阶导数在某一点处为零。
• 利用仅连接的对称部分影响测地线方程的事实，允许扭率非零但完全反对称。
• 在具有完全反对称扭率的U⁴空间中推导测地线偏离方程，将加速度的曲率与扭率贡献分离开来。
• 对静态弱引力场中的测地线方程进行弱场展开，以分析牛顿极限。
• 施加时间反演不变性与对闵可夫斯基度规的小扰动，从而对扭率分量施加约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有完全反对称扭率的时空中，局部惯性坐标存在的必要与充分条件是什么？
• RQ2 当仅扭张量对称部分为零时，尽管扭率非零，测地线方程将如何表现？
• RQ3 在具有完全反对称扭率的黎曼-嘉当时空中，能否一致地推导出测地线偏离方程？
• RQ4 完全反对称扭率是否与广义相对论的牛顿极限相容？
• RQ5 牛顿极限对扭率张量分量施加了哪些约束？

主要发现

• 在某一点实现局部惯性坐标系的必要与充分条件是扭张量对称部分为零，而非扭率本身为零。
• 完全反对称扭率张量与局部惯性系的存在相容，因为决定测地线的连接对称部分仍可为零。
• 在具有完全反对称扭率的U⁴空间中，测地线偏离方程可分解为曲率与扭率贡献，其中扭率部分为 $ A^{ u}_{T} = 2g^{ ueta}T^{ ho}(S^{ heta}T_{ ho hetaeta})_{; ho}T^{ ho} $。
• 在牛顿极限下，为避免出现非物理力，需满足 $ T^{0}_{k0} = 0 $（$ k=1,2,3 $），而此条件与完全反对称扭率张量相容。
• 牛顿极限导出 $ rac{d^2oldsymbol{x}}{dt^2} = - abla ilde{ ho} + oldsymbol{H}oldsymbol{T} $，一致性要求 $ oldsymbol{T} = 0 $，除非 $ oldsymbol{H} $ 为奇异矩阵，但此情况被微扰理论排除。
• 四维中完全反对称扭率张量的独立分量为 $ T_{120}, T_{230}, T_{310}, T_{231} $，它们完全决定了测地线偏离中的扭率贡献。