[论文解读] Locally Lagrangian Symplectic and Poisson Manifolds

Izu Vaisman|ArXiv.org|Aug 14, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了局部拉格朗日辛（l.L.s.）和泊松（l.L.P.）流形，通过局部拉格朗日函数将辛结构从拉格朗日力学推广到全局的、可能紧致的流形。它利用切丛结构 S 建立了 l.L.s. 流形的坐标无关刻画，并表明 l.L.P. 流形的辛叶面继承了局部拉格朗日辛结构，其应用包括切丛和切丛的纤维积。

ABSTRACT

We discuss symplectic manifolds where, locally, the structure is that encountered in Lagrangian dynamics. Exemples and characteristic properties are given. Then, we refer to the computation of the Maslov classes of a Lagrangian submanifold. Finally, we indicate the generalization of this type of structures to Poisson manifolds.

研究动机与目标

• 将局部拉格朗日辛（l.L.s.）流形定义并表征为在切丛上全局拉格朗日辛结构的推广。
• 通过引入与切丛结构 S 兼容的局部拉格朗日泊松（l.L.P.）结构，将框架扩展至泊松流形。
• 证明 l.L.P. 流形的辛叶面本身也是局部拉格朗日辛流形。
• 通过向量场 X,Y 的兼容性条件 ω(X,SY) = ω(Y,SX) 提供 l.L.s. 流形的坐标无关刻画。
• 研究在切丛的纤维积上是否存在全局拉格朗日泊松（g.L.P.）结构，特别是 T^{(2)}N。

提出的方法

• 将局部拉格朗日辛流形定义为具有切丛结构 S 和局部可表示为 ω = d(θ_L) 的辛形式 ω 的流形 M，其中 θ_L = dL∘S，L 为 M 上的局部拉格朗日函数。
• 利用 Nijenhuis 张量条件 N_S = 0 确保切丛结构 S 的可积性，从而定义垂直叶层 V = im S = ker S。
• 通过条件 ω(X,SY) = ω(Y,SX) 对所有 X,Y ∈ Γ(TM) 表征 l.L.s. 流形，该条件确保垂直分布关于 ω 是拉格朗日的。
• 通过 R^{2n} 关于 Z^n × Z^n 作用的商空间构造例子，如环面 T^{2n}，从而从全局拉格朗日函数获得紧致的 l.L.s. 流形。
• 通过要求 S 与泊松二阶张量 P 兼容，将框架推广至泊松结构，导出条件 (4.1)–(4.4)，包括 P(dq^i, du^j) = P(dq^j, du^i)。
• 证明当 P 具有形式 P = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^j 时，纤维积 M = TN ×_f TN 具有 l.L.P. 结构，其中 P^{ij} 对称，A^{ij} 反对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛流形 M 需满足何种条件，才能在局部上仿照拉格朗日力学在切丛上的辛结构？
• RQ2 如何将全局拉格朗日辛结构的概念推广至紧致流形上非恰当的辛形式？
• RQ3 切丛结构 S 在表征局部拉格朗日辛流形中起什么作用？
• RQ4 当配备与之兼容的切丛结构时，泊松流形的辛叶面如何继承局部拉格朗日辛结构？
• RQ5 在切丛 TN 上，何种条件下泊松二阶张量场 P 会诱导出全局拉格朗日泊松结构？

主要发现

• 辛流形 M 是局部拉格朗日的，当且仅当其辛形式 ω 满足对所有向量场 X,Y 有 ω(X,SY) = ω(Y,SX)，该条件确保由 S 定义的垂直叶层是拉格朗日的。
• 局部拉格朗日泊松流形的辛叶面本身也是局部拉格朗日辛流形，继承自环境泊松结构的结构。
• 一个紧致的局部拉格朗日辛流形的例子是环面 T^{2n}，其作为 R^{2n} 关于晶格作用的商空间构造而成，其中拉格朗日函数在闭 1-形式和函数的平移下变换。
• 当泊松二阶张量 P 具有形式 P = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^j，且 P^{ij} 对称、A^{ij} 反对称时，纤维积 M = TN ×_f TN 具有局部拉格朗日泊松结构。
• 在 M = TN ×_f TN 上的泊松结构的每个叶面上，辛结构由全局形式 Λ_{ij}(x) dz^i ∧ dy^j 给出，其中存在全局拉格朗日函数 L = Λ_{ij}(x) z^i y^j，使得 (M,P,S) 构成一个全局拉格朗日泊松流形。
• 在 TN 上，泊松二阶张量 P 仅当其为零相关（即对所有 f,g 有 P(df,dg)=0）且满足 P(dq^i,du^j) = P(dq^j,du^i) 时，才会诱导出 l.L.P. 结构，从而导出形式 (4.14) 和秩条件 rank P = 2 rank(P^{ij})。