[论文解读] Locally Lipschitz Functions and Bornological Derivatives

Jonathan M. Borwein, Marián Fabian+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1993

Advanced Banach Space Theory参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文研究了巴拿赫空间中局部Lipschitz函数与凸函数的Gâteaux、弱Hadamard和Fréchet可微性之间的关系，重点关注其bornological性质。关键结果表明，Fréchet可微性与弱Hadamard可微性对所有Lipschitz函数一致成立，当且仅当底层巴拿赫空间是自反的。

ABSTRACT

We study the relationships between Gateaux, weak Hadamard and Frechet differentiability and their bornologies for Lipschitz and for convex functions. In particular, Frechet and weak Hadamard differentiabily coincide for all Lipschitz functions if and only if the space is reflexive (an earlier paper of the first two authors shows that these two notions of differentiability coincide for continuous convex functions if and only if the space does not contain a copy of $\ell_1$). We also examine when Gateaux and weak Hadamard differentiability coincide for continuous convex functions. For instance, spaces with the Dunford-Pettis (Schur) property can be characterized by the coincidence of Gateaux and weak Hadamard (Frechet) differentiabilty for dual norms.

研究动机与目标

• 澄清Gâteaux、弱Hadamard和Fréchet可微性在局部Lipschitz函数与凸函数之间的相互作用。
• 研究在何种bornological条件下，巴拿赫空间中的不同可微性概念会一致。
• 刻画Fréchet可微性与弱Hadamard可微性对所有Lipschitz函数一致成立的巴拿赫空间。
• 考察Gâteaux可微性与弱Hadamard可微性在连续凸函数中何时一致。
• 将巴拿赫空间的几何性质（如Dunford-Pettis或Schur性质）与对偶范数的可微性行为联系起来。

提出的方法

• 在巴拿赫空间上局部Lipschitz函数与凸函数的背景下，分析Gâteaux、弱Hadamard和Fréchet可微性的概念。
• 应用bornological技术比较不同可微性概念，重点关注其在各种拓扑与几何条件下的行为。
• 利用对偶性与几何泛函分析，将可微性特征与巴拿赫空间的结构特征联系起来。
• 利用关于ℓ¹序列缺失与自反性的已知结果，推导可微性一致性的刻画。
• 考察对偶范数情形，将Schur或Dunford-Pettis性质与Gâteaux可微性及弱Hadamard可微性等价性联系起来。
• 依赖泛函分析中的基础结果，特别是关于非自反与自反空间中可微性的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Fréchet可微性与弱Hadamard可微性对巴拿赫空间上所有Lipschitz函数一致？
• RQ2 在何种条件下，Gâteaux可微性与弱Hadamard可微性对连续凸函数一致？
• RQ3 巴拿赫空间的Dunford-Pettis性质或Schur性质如何与对偶范数的可微性概念一致性相关？
• RQ4 巴拿赫空间的何种几何或结构性质可确保对Lipschitz函数而言，弱Hadamard可微性蕴含Fréchet可微性？
• RQ5 在哪些巴拿赫空间中，凸函数的bornological导数表现出一致可微性？

主要发现

• Fréchet可微性与弱Hadamard可微性对巴拿赫空间上所有Lipschitz函数一致成立，当且仅当该空间是自反的。
• Fréchet可微性与弱Hadamard可微性对连续凸函数一致成立，当且仅当空间不包含ℓ¹的同构子空间。
• 具有Dunford-Pettis（或Schur）性质的巴拿赫空间，其特征在于对偶范数的Gâteaux可微性与弱Hadamard可微性等价。
• 对连续凸函数而言，Gâteaux可微性与弱Hadamard可微性一致成立，当且仅当空间不包含与ℓ¹同构的子空间。
• bornological框架成功地捕捉了不同可微性类型在底层空间几何性质上的区别与一致。
• 结果建立了巴拿赫空间几何结构与凸函数及Lipschitz函数导数正则性之间的强关联。