[论文解读] Locally precompact groups: (Local) realcompactness and connectedness

W. W. Comfort, Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 49被引用 4

一句话总结

本文通过关键拓扑性质（如Dieudonné完备性、实紧性及连通性）对局部预紧拓扑群进行分类，证明了阿贝尔局部预紧群是拓扑群的拟连通分支当且仅当其为预紧生成。核心结果通过内在代数-拓扑条件刻画了此类群何时作为局部伪紧群的连通分支出现。

ABSTRACT

A theorem of A. Weil asserts that a topological group embeds as a (dense) subgroup of a locally compact group if and only if it contains a non-empty precompact open set; such groups are called locally precompact. Within the class of locally precompact groups, the authors classify those groups with the following topological properties: Dieudonné completeness; local realcompactness; realcompactness; hereditary realcompactness; connectedness; local connectedness; zero-dimensionality. They also prove that an abelian locally precompact group occurs as the quasi-component of a topological group if and only if it is precompactly generated, that is, it is generated algebraically by a precompact subset.

研究动机与目标

• 根据实紧性、Dieudonné完备性及遗传实紧性等拓扑性质对局部预紧拓扑群进行分类。
• 刻画局部预紧群为局部连通或连通的条件，尤其关注其与完备化的关系。
• 确定阿贝尔局部预紧群在何种条件下可实现为更大拓扑群的拟连通分支（或连通分支）。
• 在局部伪紧群的背景下，建立预紧生成阿贝尔群的内在（代数-拓扑）刻画。
• 通过完备化和$G_\tau$-拓扑技术，将关于无 torsion 且连通的预紧阿贝尔群的已知结果推广至一般情形。

提出的方法

• 利用局部预紧群$G$的Weil完备化$\tilde{G}$，将$G$的拓扑性质与其完备化性质相关联。
• 应用$G_\tau$-拓扑和$G_\tau$-稠密性，通过闭包与紧化性质刻画Dieudonné完备性和实紧性。
• 使用Hewitt实紧化$\nu X$和Stone-Čech紧化$\beta X$，分析拓扑群中的伪紧性及$G_\tau$-稠密性。
• 通过同态$\theta: \bbZ_p^{\rho \times \nu} \to E = C/A$构造纤维积群$G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times_E C$，确保$G$在$L = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$中为$G_\tau$-稠密。
• 利用$L_0 \to \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$为连通分支，且$L_0 \bigcap G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times A$，从而从$G$的连通分支中恢复出$A$作为子群。
• 应用[10]和[42]关于局部伪紧性与完备化的结果，证明若$L$局部紧，则$G$为局部伪紧。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些局部预紧群是Dieudonné完备的？其内在刻画为何？
• RQ2 何时局部预紧群为局部实紧？其与完备化的关系如何？
• RQ3 何种条件可确保局部预紧群为遗传实紧？
• RQ4 何时局部伪紧群为局部连通？其与完备化局部连通性的关系为何？
• RQ5 哪些阿贝尔局部预紧群可作为拓扑群的拟连通分支出现？其代数条件为何？

主要发现

• 局部预紧群是Dieudonné完备的当且仅当其在Weil完备化$\tilde{G}$中为$G_\tau$-闭，且等价于其为局部实紧。
• 局部预紧群是遗传实紧的当且仅当其在完备化中为$G_\tau$-闭，且每个闭子群均为实紧。
• 局部伪紧群为局部连通当且仅当其完备化为局部连通，从而建立了局部连通性与完备化性质之间的强关联。
• 阿贝尔局部预紧群$A$同胚于某局部伪紧群的连通分支当且仅当$A$为预紧生成，即代数上由预紧子集生成。
• 若$A$为预紧且阿贝尔，则存在局部伪紧群$G$，使得$A \to (\tilde{G})_0 \bigcap G$为拓扑同构，且当$A$紧致时可选取$G$为伪紧。
• 对于度量空间$A$，除非$A$本身已局部紧致且连通，否则不存在满足$w(G) = w(A)$的此类$G$，如反例$A = \bbQ$所示。