[论文解读] Locating a Tree in a Reticulation-Visible Network in Cubic Time

Andreas D. M. Gunawan, Bhaskar DasGupta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在有 reticulation 可见性（reticulation-visible）的系统发育网络中解决树包含问题（TCP）的立方时间算法，这是计算系统发育学中长期悬而未决的问题。通过利用一个新颖的分解定理，该定理揭示了有 reticulation 可见性网络的结构特性，作者还开发了一种线性时间算法来解决簇包含问题（CCP），并证明了具有 $n$ 片叶子的 galled 网络中，有向网孔节点（reticulation nodes）的数量至多为 $2(n-1)$。

ABSTRACT

In this work, we answer an open problem in the study of phylogenetic networks. Phylogenetic trees are rooted binary trees in which all edges are directed away from the root, whereas phylogenetic networks are rooted acyclic digraphs. For the purpose of evolutionary model validation, biologists often want to know whether or not a phylogenetic tree is contained in a phylogenetic network. The tree containment problem is NP-complete even for very restricted classes of networks such as tree-sibling phylogenetic networks. We prove that this problem is solvable in cubic time for stable phylogenetic networks. A linear time algorithm is also presented for the cluster containment problem.

研究动机与目标

• 解决关于有 reticulation 可见性网络中树包含问题（TCP）是否可在多项式时间内求解的开放性问题。
• 为有 reticulation 可见性网络中的 TCP 和簇包含问题（CCP）开发高效算法。
• 建立 galled 网络中网孔节点数量的结构界。
• 通过适用于所有有 reticulation 可见性网络的分解定理，提供理论基础。
• 为未来基于基因树的网络重建与等价性测试工作提供支持。

提出的方法

• 提出一个分解定理（定理 4.1），通过识别最低大树节点组件及其子网络等关键组件，刻画有 reticulation 可见性网络的结构。
• 利用该分解设计一种递归检查组件内子树相容性的立方时间算法，以解决树包含问题（TCP）。
• 通过利用最低大树节点组件和在辅助树上高效计算最近公共祖先（LCA），构建一种线性时间算法来解决簇包含问题（CCP）。
• 定义并利用软簇（soft clusters）及其在子网络中的表示方法，以验证簇包含关系。
• 应用该分解定理，证明任意具有 $n$ 片叶子的 galled 网络中，网孔节点数量的上界为 $2(n-1)$。
• 使用路径标记和 LCA 预处理技术，实现 CCP 算法的线性时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 有 reticulation 可见性网络中，树包含问题（TCP）是否如 van Iersel、Semple 和 Steel 所猜想的那样，可在多项式时间内求解？
• RQ2 二叉有 reticulation 可见性网络中，簇包含问题（CCP）是否可在线性时间内求解？
• RQ3 具有 $n$ 片叶子的 galled 网络中，网孔节点的最大数量是多少？
• RQ4 如何利用有 reticulation 可见性网络的结构特性，设计出高效求解 TCP 和 CCP 的算法？
• RQ5 该分解定理是否可推广至非二叉网络，并用于网络重建或等价性测试？

主要发现

• 二叉有 reticulation 可见性网络中的树包含问题（TCP）可在立方时间内求解，解决了 van Iersel、Semple 和 Steel 提出的开放性问题。
• 基于分解定理和高效的 LCA 查询，开发出一种线性时间算法来解决二叉有 reticulation 可见性网络中的簇包含问题（CCP）。
• TCP 和 CCP 的所提算法被扩展至非二叉有 reticulation 可见性网络，且保持多项式时间复杂度。
• 证明了每个具有 $n$ 片叶子的 galled 网络中，网孔节点数量至多为 $2(n-1)$，提供了紧致的结构界。
• 分解定理揭示了有 reticulation 可见性网络可通过最低大树节点组件递归分析，从而支持高效算法的设计。
• 通过在子网络中基于节点祖先关系与叶后代关系对软簇进行表征，确立了 CCP 算法的正确性。