[论文解读] Locating the eigenvalues of matrix polynomials

Dario A. Bini, Vanni Noferini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文将经典的根定位技术——佩尔特定理和牛顿多边形方法——从标量多项式推广至矩阵多项式，从而实现了对艾尔利希-阿贝尔回溯法（Ehrlich-Aberth iteration）的高效初始近似选择。通过结合热带代数与特征值模长界，该方法显著减少了多项式特征值问题中收敛所需的平均迭代次数与最大迭代次数。

ABSTRACT

Some known results for locating the roots of polynomials are extended to the case of matrix polynomials. In particular, a theorem by A.E. Pellet [Bulletin des Sciences Mathématiques, (2), vol 5 (1881), pp.393-395], some results of D.A. Bini [Numer. Algorithms 13:179-200, 1996] based on the Newton polygon technique, and recent results of M. Akian, S. Gaubert and M. Sharify (see in particular [LNCIS, 389, Springer p.p.291-303] and [M. Sharify, Ph.D. thesis, École Polytechnique, ParisTech, 2011]). These extensions are applied for determining effective initial approximations for the numerical computation of the eigenvalues of matrix polynomials by means of simultaneous iterations, like the Ehrlich-Aberth method. Numerical experiments that show the computational advantage of these results are presented.

研究动机与目标

• 解决当根的模长差异显著时，多项式特征值求解器收敛性能差的问题。
• 通过利用根定位技术，改进艾尔利希-阿贝尔回溯法等迭代特征值求解器的初始近似选择。
• 将标量多项式根界方法——佩尔特定理与牛顿多边形分析——推广至矩阵多项式。
• 提出一种实用的初始近似放置准则，以降低特征值计算的计算成本。
• 实现高效、高精度的矩阵多项式特征值计算，类似于标量多项式领域的 MPSolve 软件。

提出的方法

• 通过分析系数范数与鲁歇定理（Rouché’s theorem），将佩尔特定理推广至矩阵多项式，利用特征值模长进行分析。
• 通过绘制点 (i, log||A_i||) 并计算上凸包，构建矩阵多项式系数的牛顿多边形。
• 利用牛顿多边形各段的斜率，确定初始近似放置的半径 r_i = ||A_{k_{i-1}}|| / ||A_{k_i}||^{1/(k_i - k_{i-1})}。
• 在半径为 r_i 的圆周上均匀放置初始近似，每个半径对应 m_i = k_i - k_{i-1} 个近似点，以匹配预期的特征值簇分布。
• 使用这些结构化的初始猜测执行艾尔利希-阿贝尔回溯法，同时追踪最大迭代次数（simul_it）与平均迭代次数（aver_it）。
• 利用热带代数框架解释牛顿多边形结果，并验证基于半径的聚类方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 佩尔特定理与牛顿多边形技术能否推广至矩阵多项式，以界定特征值模长？
• RQ2 特征值模长的定位如何改善艾尔利希-阿贝尔回溯法等迭代特征值求解器的收敛性能？
• RQ3 与均匀分布在单位圆上的初始近似相比，基于牛顿多边形的初始近似在计算上具有何种优势？
• RQ4 当矩阵多项式的特征值模长分布极不平衡时，这些界在多大程度上仍具有效性？
• RQ5 牛顿多边形方法能否用于设计类似于 MPSolve 的多精度矩阵多项式根求解器？

主要发现

• 对于特征值模长分布极不平衡的矩阵多项式，基于牛顿多边形的初始近似可使平均迭代次数相比均匀单位圆放置减少高达 75%。
• 当 m=40 时，平均迭代次数（aver_it）从单位圆放置的 1466 下降至牛顿多边形的 6.1，减少约 240 倍。
• 最大迭代次数（simul_it）也显著下降，从 1594 降至 13（当 m=40 时），表明所有分量均实现更快收敛。
• 即使在非正交系数矩阵下，该方法仍具有效性，随机系数测试中也观察到类似的迭代减少。
• 迭代次数的减少程度随矩阵尺寸 m 近似线性增长，表明该方法在大规模问题中具有可扩展性。
• 牛顿多边形方法避免在无特征值的区域放置初始近似，这一点通过环形边界与区间 ]s_{h_j}, t_{h_j}[ 内无根的验证得以确认。