[论文解读] Locking free and gradient robust H(div)-conforming HDG methods for linear elasticity

Guosheng Fu, Christoph Lehrenfeld+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文提出了一种无锁紧且梯度鲁棒的 H(div)-符合混合间断伽辽金（HDG）方法，用于线性弹性力学，利用散度符合的离散化方法，确保在接近不可压缩极限下的稳定性和准确性。该方法实现了最优收敛率，并对高 Lamé 参数值具有鲁棒性，其性能在多种测试案例中得到了理论和数值验证。

ABSTRACT

Robust discretization methods for (nearly-incompressible) linear elasticity are free of volume-locking and gradient-robust. While volume-locking is a well-known problem that can be dealt with in many different discretization approaches, the concept of gradient-robustness for linear elasticity is new. We discuss both aspects and propose novel Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) methods for linear elasticity. The starting point for these methods is a divergence-conforming discretization. As a consequence of its well-behaved Stokes limit the method is gradient-robust and free of volume-locking. To improve computational efficiency, we additionally consider discretizations with relaxed divergence-conformity and a modification which re-enables gradient-robustness, yielding a robust and quasi-optimal discretization also in the sense of HDG superconvergence.

研究动机与目标

• 为解决线性弹性力学有限元离散化中的体积锁紧和梯度鲁棒性问题，特别是在接近不可压缩极限时。
• 开发一类新的 H(div)-符合 HDG 方法，使其同时具备无锁紧和梯度鲁棒性。
• 确保弹性问题中类似 Stokes 问题部分的离散 inf-sup 稳定性和压力鲁棒性。
• 提出高效的变体，减少自由度数量，同时保持鲁棒性和收敛性。
• 通过网格加密和 Lamé 参数变化下的基准算例，对方法进行数值验证。

提出的方法

• 该方法采用基于线性弹性力学混合弱形式的散度符合 HDG 格式，确保位移的离散分解在无散和无旋分量上保持稳定且一致。
• 采用基于 Raviart-Thomas 类型有限元空间的混合间断伽辽金框架，通过数值通量弱式地强制实现 H(div)-符合性。
• 其关键创新在于利用梯度场与离散无散测试函数之间的离散 $\boldsymbol{L}^2$-正交性，从而实现梯度鲁棒性。
• 引入一种改进的稳定化项，使在放宽散度符合性的变体中仍能恢复梯度鲁棒性，确保即使在完全符合性被放松时也保持鲁棒性。
• 分析基于加权范数和对偶论证的先验误差估计，证明了拟最优性和无锁紧行为。
• 在不同 $\lambda$ 值下，于重心加密网格上进行数值实验，以测试方法在接近不可压缩区域内的收敛性和鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出同时具备无体积锁紧和梯度鲁棒性的 H(div)-符合 HDG 方法，用于线性弹性力学？
• RQ2 将位移分解为无散和无旋部分的离散分解在多大程度上保持了精度和稳定性？
• RQ3 放宽散度符合性对方法的收敛性和鲁棒性有何影响？
• RQ4 在接近不可压缩材料典型的高 $\lambda$ 值下，该方法能否保持最优收敛率和鲁棒性？
• RQ5 与标准 HDG 方法或混合有限元方法相比，该方法在误差行为和条件数方面表现如何？

主要发现

• 所提出的 H(div)-符合 HDG 方法被证明是无锁紧且梯度鲁棒的，在位移的能量范数和 $L^2$-范数下均实现了最优收敛率。
• 该方法保持了离散 inf-sup 稳定性，并确保仅力向量的无散部分影响速度解，从而保持了精度。
• 数值结果表明，离散误差范数在不同网格细化层级下基本不依赖于 $\lambda$，证实了在接近不可压缩区域的鲁棒性。
• 尽管放宽符合性的变体减少了全局耦合自由度，但仍实现了拟最优收敛率，并通过改进的稳定化项保持了梯度鲁棒性。
• 误差估计表明，位移的 $L^2$-误差被限制为 $h(\mu^{-1/2}\|\underline{\boldsymbol{u}} - \underline{\boldsymbol{u}}_h\|_{\mu,\ast,h} + \|({\rm id}-\Pi_Q)\operatorname{div}\boldsymbol{u}\|)$，证实了对 $\mu$ 和 $\lambda$ 的鲁棒性。
• 在重心加密网格上，$k=2$ 时方法实现了最优收敛率，且在示例 2 中误差曲线不随 $\lambda$ 变化，验证了理论预测。