[论文解读] Loewner chains on the universal covering space of a Riemann surface

Jonathan Tsai|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文通过将曲线提升到万有覆盖空间（上半平面）的方式，将经典的Loewner微分方程推广到具有边界的黎曼曲面，推导出一族随时间演化的共形映射，该映射满足广义Loewner方程。关键贡献在于推导出在万有覆盖空间上共形映射演化的微分方程，为多重连通区域和黎曼曲面上的随机Loewner演化（SLE）奠定了基础。

ABSTRACT

Let R be a hyperbolic Riemann surface with boundary $\partial R$ and suppose that $γ:[0,T] o R\cup\partial R$ is a simple curve growing from the boundary of R. By lifting $R_{t}=R\setminus γ(0,t]$ to the universal covering space of R (which we assume is the upper half-plane $\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:Im[z]>0\}$) via the covering map $π:\mathbb{H} o R$, we can define a family of simply-connected domains $D_{t}=π^{-1}(R_{t})$. For each $t\in[0,T]$, suppose that f_{t} is a conformal map of \mathbb{H} onto D_{t} such that f(z,t)=f_{t}(z) is differentiable almost everywhere in (0,T) with respect to t. In this paper, we will derive a differential equation that describes how f(z,t) evolves in time t. This should be viewed as an extension of the Loewner differential equation to curves on Riemann surfaces with boundary. The motivation of this paper is the desire to extend Schramm's stochastic Loewner evolution (SLE) to multiply-connected domains and Riemann surfaces.

研究动机与目标

• 将弦状Loewner微分方程推广至具有边界的黎曼曲面，特别是双曲黎曼曲面。
• 解决在多重连通区域上Loewner链缺乏自然归一化的问题。
• 通过将曲线提升至万有覆盖空间，为在黎曼曲面上定义随机Loewner演化（SLE）提供一个框架。
• 建立一个关于随时间演化的万有覆盖空间上共形映射的微分方程，该映射随基曲面上曲线的增长而演化。
• 通过刻画驱动函数和共形演化下的群结构，实现黎曼曲面上SLE的构造。

提出的方法

• 通过覆盖映射 π: H → R，将具有边界的双曲黎曼曲面 R 上的简单曲线 γ 提升至万有覆盖空间（即上半平面 H）。
• 定义单连通区域族 Dt = π⁻¹(Rt)，其中 Rt = R ∖ γ(0,t]，使得 Dt ⊂ H。
• 构造一族共形映射 ft: H → Dt，使得 ft 在 t ∈ (0,T) 几乎处处可微，形成一个Loewner链。
• 推导出 ft(z) = f(z,t) 的时间演化微分方程，推广经典弦状Loewner方程。
• 利用与 R 相关的Fuchsian群 Γ 定义提升变换群，并追踪群 Γt = ft⁻¹ ∘ Γ ∘ ft 的演化。
• 通过证明诱导的Fuchsian群 Γt 和共形映射 gt 与初始点的选择无关，确保Loewner链的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Loewner微分方程推广至具有边界的黎曼曲面，特别是在多重连通情形？
• RQ2 在黎曼曲面的万有覆盖空间上，Loewner链的存在性和可微性需满足何种条件？
• RQ3 在覆盖空间的共形演化下，Fuchsian群结构如何演化？
• RQ4 能否通过将驱动函数扩展为包含漂移项和扩散项的方式，在黎曼曲面上一致地定义随机Loewner演化（SLE）？
• RQ5 在多重连通设定下缺乏自然归一化的情况下，适用于黎曼曲面上Loewner链的归一化与参数化方案有哪些？

主要发现

• 本文推导出在万有覆盖空间 H 上共形映射 ft(z) 时间演化的微分方程，将弦状Loewner方程推广至黎曼曲面。
• ft 的演化由一个涉及曲线端点在 ft 下原像的微分方程控制，类似于经典Loewner方程。
• 与穿孔曲面 R ∖ γ(0,t] 相关的Fuchsian群 Γt 通过 ft 的共轭方式演化，确保共形等价关系 R ∖ γ(0,t] ≅ H / Γt 成立。
• Loewner链与 R ∖ Λ 中初始点的选择无关，确保了在不同参数化下构造的一致性。
• 该框架支持通过允许驱动函数包含漂移项 h(t)dt 和布朗运动项 √κ dBt，实现黎曼曲面上SLE的定义，推广了弦状SLE。
• 该构造对有限黎曼曲面（有限生成Fuchsian群）有效，并可通过逼近推广至更一般的情形。