[论文解读] Log canonical pairs with boundaries containing ample divisors

Zhengyu Hu|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 4

一句话总结

本论文证明了当投影对 $(X,\Delta)$ 的边界 $Δ$ 包含一个充分 ample 的 $Â$-除子时，存在良好的极小模型或 Mori 纤维空间。它在相同条件下证明了 $Â$-因子化对的对数极小模型程序带缩放的终止性，并应用该结果证明了具有 $Â$-因子化对数极小奇点的对数 Fano 型代数簇是 Mori 梦空间，从而证实了 Cascini 和 Gongyo 的一个猜想。

ABSTRACT

Let $(X,Δ)$ be a projective log canonical pair such that $Δ\geq A$ where $A \geq 0$ is an ample $\mathbb{R}$-divisor. We prove that either $(X,Δ)$ has a good minimal model or a Mori fibre space. Moreover, if $X$ is $\mathbb{Q}$-factorial, then any Log Minimal Model Program on $K_X+Δ$ with scaling terminates. As an application we prove that a log Fano type variety $X$ with $\mathbb{Q}$-factorial log canonical singularities is a Mori dream space.

研究动机与目标

• 将 Birkar 等人关于 klt 对的良极小模型存在性结果，从 klt 推广到对数极小对。
• 在 $Â$-因子化对数极小对满足 $Δ \geq A$（其中 $A$ 是一个 ample 的 $Â$-除子）的条件下，证明对数极小模型程序带缩放的终止性。
• 证明具有 $Â$-因子化对数极小奇点的对数 Fano 型代数簇是 Mori 梦空间，从而证实 Cascini 和 Gongyo 的一个猜想。
• 通过有理多面体分解有效锥的方法，分析弱对数极小模型的地理结构。

提出的方法

• 采用一种推广的设定：$K_X + \Delta \sim_\mathbb{R} 0/Z$ 且 $A \sim_\mathbb{R} f^*A_Z$，其中 $A_Z$ 是 $Z$ 上的 ample 除子，从而支持归纳论证。
• 应用对数极小对的增强基底簇理论与非零性定理。
• 采用弱对数极小模型及其在有理多面体内的墙分解概念。
• 通过构造一个对数极小对 $(Y, \Gamma)$，使得 $-(K_Y + \Gamma)$ 是 ample 的，将 Cox 环的有限生成性归约为截面环的有限生成性。
• 利用当 $-(K_Y + \Gamma)$ 是 ample 且 $K_Y + \Gamma + A \sim_\mathbb{Q} \epsilon H$ 时，$R(Y, \epsilon H)$ 是有限生成的这一事实，借助定理 7.2。
• 对对数极小对应用 Kodaira 无扭性，以确保 $H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$，从而保证 $\operatorname{Pic}_\mathbb{Q}(X)$ 是有限维的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对数极小对 $(X, \Delta)$ 的边界 $Δ$ 包含一个 ample 的 $Â$-除子时，是否存在良极小模型或 Mori 纤维空间？
• RQ2 在边界 ample 的条件下，$Â$-因子化对数极小对的对数极小模型程序带缩放是否终止？
• RQ3 每个具有 $Â$-因子化对数极小奇点的对数 Fano 型代数簇是否都是 Mori 梦空间？
• RQ4 当 $K_X + \Delta \sim_\mathbb{R} 0/Z$ 且 $Δ \geq A$（$A$ 为 ample）时，弱对数极小模型的地理结构如何？

主要发现

• 对于任意满足 $Δ \geq A$（其中 $A$ 是一个 ample 的 $Â$-除子）的投影对数极小对 $(X, \Delta)$，其要么存在一个良极小模型，要么存在一个 Mori 纤维空间。
• 对于满足 $Δ \geq A$（其中 $A$ 是一个 ample 的 $\mathbb{R}$-除子）的 $Â$-因子化投影对数极小对，其带缩放的对数极小模型程序是终止的。
• 当 $K_X + \Delta$ 是 $Â$-Cartier 且 $Δ \geq A$（其中 $A$ 是一个 ample 的 $Â$-除子）时，除子环 $R(X, \Delta)$ 是有限生成的。
• 满足 $K_X + \Delta \sim_\mathbb{R} 0/Z$ 且 $Δ \geq A$（其中 $A$ 是一个 ample 的 $Â$-除子）的对数极小对的有效锥 $\mathcal{E}$ 允许一个有限的有理多面体分解，其墙对应于弱对数极小模型。
• 若存在一个边界 $Δ$，使得 $(X, \Delta)$ 是对数极小对且 $-(K_X + B)$ 是 ample 的，则 $Â$-因子化投影代数簇 $X$ 的 Cox 环是有限生成的。
• 构造一个对数极小对 $(Y, \Gamma)$，使得 $-(K_Y + \Gamma)$ 是 ample 的，且 $R(Y, \epsilon H)$ 是有限生成的，这一事实可推出 $X$ 的 Cox 环的有限生成性。