[论文解读] Log canonical singularities and complete moduli of stable pairs

Valery Alexeev|ArXiv.org|Aug 17, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 46

一句话总结

该论文在对数极小模型程序（已知在维数 ≤ 3 时成立）的假设下，构建了具有对数典范奇点的射影代数簇上稳定对 $(X,B)$ 的完整模空间，推广了 $n$-点稳定曲线的模空间。证明了在通过半对数典范奇点进行紧化时，复数域上稳定阿贝尔对 $(P_0, \Theta_0)$ 的模空间是射影的，使用了 Kollár 的正性引理和消去定理。

ABSTRACT

1) Assuming log Minimal Model Conjecture, we give a construction of a complete moduli space of stable log pairs of arbitrary dimension generalizing directly the space M_{g,n} of pointed stable curves. Each stable pair has semi log canonical singularities. 2) We prove that a stable quasiabelian pair, defined by author and I.Nakamura as the limit of abelian varieties with theta divisors, has semi log canonical singularities.

研究动机与目标

• 在任意维数下构造稳定对 $(X,B)$ 的完整模空间，推广 $M_{g,n}$ 到高维代数簇。
• 研究作为阿从簇极限的稳定阿从簇及其对 $(X,B)$ 的奇点。
• 证明此类奇点为半对数典范奇点，从而通过 Kollár 的正性引理，推出模紧化的射影性。
• 证明 $D/\Gamma$ 的最小紧化与藤田紧化具有对数典范奇点，且最小紧化是任意藤田紧化的对数典范模型。
• 证明当边界除子 $B$ 正确定义时，一对的对数典范模型对应于最小紧化。

提出的方法

• 在对数极小模型程序（假设在维数 $\leq 3$ 时成立）下，构造具有对数典范奇点的稳定对 $(X,B)$ 的模空间。
• 通过分歧条件定义对数典范奇点：在公式 $f^*(K_X + B) = K_Y + f^{-1}B + \sum a_i E_i$ 中，要求 $a_i \leq 1$。
• 应用 Kawamata–Viehweg 消去定理的 Nadel 形式，以控制族 $\pi: P \to S$ 中对 $(P, \Theta + P_0)$ 的非对数典范子簇 $Z$。
• 利用相对消去 $R^1\pi_* J(\Theta + P_0) = 0$，推出映射 $\pi_* \mathcal{O}_P(K_P + \Theta + P_0) \to \pi_* \mathcal{O}_Z(K_P + \Theta + P_0)$ 的满射性。
• 应用对数邻接的逆定理，并利用 $Z$ 支持于 $\Theta$ 且不包含于中心纤维的性质，若 $Z \neq \emptyset$，则导出矛盾，从而证明对数典范性。
• 利用半阿从群的作用及高阶上同调的消去，证明 $\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta) \neq 0$，与零映射 $\phi$ 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对数极小模型程序的假设下，是否可以在任意维数下构造出具有对数典范奇点的稳定对 $(X,B)$ 的完整模空间？
• RQ2 稳定阿从对 $(P_0, \Theta_0)$ 的奇点是否为半对数典范奇点？这对 $A_g$ 的紧化有何含义？
• RQ3 最小紧化与 $D/\Gamma$ 的藤田紧化是否具有对数典范奇点？最小紧化是否为任意藤田紧化的对数典范模型？
• RQ4 边界除子 $B$ 在确定紧化对数典范模型时起什么作用？
• RQ5 高阶直接像的消去性与半阿从群的作用如何帮助证明 $\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta)$ 的非零性？

主要发现

• 在对数极小模型程序下，具有对数典范奇点的稳定对 $(X,B)$ 的模空间是完备的，推广了 $M_{g,n}$ 到高维情形。
• 复数域上稳定阿从对 $(P_0, \Theta_0)$ 具有半对数典范奇点，通过一族 $\pi: P \to S$（一般纤维为阿从簇，中心纤维为 $P_0$）得以证明。
• 对 $(P, \Theta + P_0)$ 具有对数典范奇点，通过邻接的逆定理可推出 $(P_0, \Theta_0)$ 为半对数典范奇点。
• 若 $\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta)$ 非零，则与零映射 $\phi$ 矛盾，从而证明非对数典范子簇 $Z$ 必须为空。
• 通过 Kollár 的正性引理应用于半对数典范对，可知 $A_g$ 的通过稳定阿从对进行的紧化在复数域上是射影的。
• 最小（Baily–Borel）紧化与 $D/\Gamma$ 的藤田紧化均具有对数典范奇点，且当 $B$ 正确定义时，最小紧化是任意藤田紧化的对数典范模型。