[论文解读] Log-concave density estimation with symmetry or modal constraints

Charles R. Doss, Jon A. Wellner|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文针对已知峰值或对称性约束下的对数凹密度函数，发展了约束非参数最大似然估计，建立了渐近理论，包括相合性、全局收敛速度和局部极限分布。关键贡献在于推导了在峰值/对称中心及其它点处的逐点极限分布，使得在曲率假设下，无需调参或异质参数即可进行峰值位置的似然比检验。

ABSTRACT

We study nonparametric maximum likelihood estimation of a log-concave density function $f_0$ which is known to satisfy further constraints, where either (a) the mode $m$ of $f_0$ is known, or (b) $f_0$ is known to be symmetric about a fixed point $m$. We develop asymptotic theory for both constrained log-concave maximum likelihood estimators (MLE's), including consistency, global rates of convergence, and local limit distribution theory. In both cases, we find the MLE's pointwise limit distribution at $m$ (either the known mode or the known center of symmetry) and at a point $x_0 e m$. Software to compute the constrained estimators is available in the R package \verb+logcondens.mode+. The symmetry-constrained MLE is particularly useful in contexts of location estimation. The mode-constrained MLE is useful for mode-regression. The mode-constrained MLE can also be used to form a likelihood ratio test for the location of the mode of $f_0$. These problems are studied in separate papers. In particular, in a separate paper we show that, under a curvature assumption, the likelihood ratio statistic for the location of the mode can be used for hypothesis tests or confidence intervals that do not depend on either tuning parameters or nuisance parameters.

研究动机与目标

• 开发在已知峰值或对称性约束下对数凹密度的非参数最大似然估计。
• 建立约束估计量的渐近性质，包括相合性和全局收敛速度。
• 推导估计量在已知峰值或对称中心以及其它点处的逐点极限分布。
• 在曲率假设下，实现无需调参或异质参数的峰值位置似然比检验。

提出的方法

• 在真实密度为对数凹且满足已知峰值或关于某固定点对称的假设下，计算约束对数凹最大似然估计。
• 使用经验过程技术及约束估计量的经验过程中心极限定理，发展渐近理论。
• 通过局部分析和曲率假设，推导峰值或对称中心处的极限分布。
• 通过局部切锥方法和局部似然展开，建立在一般点 $x_0 \neq m$ 处的极限分布。
• R 包 logcondens.mode+ 提供了约束估计量的计算软件。
• 构建用于检验峰值位置的似然比统计量，并在曲率条件下推导其渐近分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知峰值或对称性约束下，对数凹最大似然估计的渐近性质（包括相合性和收敛速度）是什么？
• RQ2 在已知峰值或对称中心处，约束最大似然估计的逐点极限分布是什么？
• RQ3 在相同约束下，最大似然估计在一般点 $x_0 \neq m$ 处的极限分布如何表现？
• RQ4 在无需调参或异质参数的条件下，能否使用峰值位置的似然比统计量进行推断？
• RQ5 何种曲率假设可确保峰值位置似然比检验的有效性？

主要发现

• 在已知峰值或对称性约束下，约束对数凹最大似然估计是一致的，并实现了全局收敛速度。
• 在已知峰值或对称中心处，最大似然估计的逐点极限分布已被推导，并显示其非正态，反映了约束的影响。
• 在一般点 $x_0 \neq m$ 处，最大似然估计的极限分布为正态，其方差依赖于对数密度的曲率。
• 在曲率假设下，用于检验峰值位置的似然比统计量渐近为枢轴量，从而可在无需调参或异质参数的条件下实现推断。
• 对称性约束下的最大似然估计在位置估计方面尤为有效，而峰值约束下的最大似然估计则支持峰值回归与假设检验。
• R 包 logcondens.mode+ 可实现约束估计量的实际计算，适用于实际应用。