[论文解读] Log-concavity and q-Log-convexity Conjectures on the Longest Increasing Subsequences of Permutations

William Y. C. Chen|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了关于多项式 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 的对数凹性和 $q$-对数凸性的猜想，其中 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 分别按最长递增子序列长度和交叉数枚举排列和匹配。利用 Gessel 定理和行列式公式，作者为 $n \leq 18$ 和 $n \leq 15$ 分别给出了显式多项式，并猜想这两个序列对任意阶次均为 $\infty$-$q$-对数凸性且对数凹性成立。

ABSTRACT

Let $P_{n,k}$ be the number of permutations $π$ on [n]={1, 2,..., n} such that the length of the longest increasing subsequences of $π$ equals k, and let $M_{2n, k}$ be the number of matchings on [2n] with crossing number k. Define $P_n(x)= \sum_k P_{n,k}x^k$ and $M_{2n}(x)=\sum_{k} M_{2n,k}x^k$. We propose some conjectures on the log-concavity and q-log-convexity of the polynomials $P_n(x)$ and $M_{2n}(x)$. We also introduce the notions of $\infty$-q-log-convexity and $\infty$-q-log-concavity, and the notion of higher order log-concavity with respect to $\infty$-q-log-convex or $\infty$-q-log-concavity. A conjecture on the $\infty$-q-log-convexity of the Boros-Moll polynomials is presented. It seems that $M_{2n}(x)$ are log-concave of any order with respect to $\infty$-q-log-convexity.

研究动机与目标

• 研究按最长递增子序列长度计数的多项式 $P_n(x)$ 的对数凹性和 $q$-对数凸性。
• 将这些猜想扩展至 $M_{2n}(x)$，即按交叉数生成匹配的多项式。
• 引入并探讨 $\infty$-$q$-对数凸性和相对于 $q$-对数凸性的高阶对数凹性概念。
• 提出关于 Boros-Moll 多项式 $\infty$-$q$-对数凸性的猜想，将其与 $q$-对数凸序列的更广泛框架联系起来。
• 为 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 提供至 $n=18$ 和 $n=15$ 的显式多项式展开，以支持猜想的经验验证。

提出的方法

• 定义 $P_n(x) = \sum_k P_{n,k} x^k$，其中 $P_{n,k}$ 表示在 $\mathfrak{S}_n$ 中最长递增子序列长度为 $k$ 的排列数，使用 Gessel 的行列式公式表示 $u_k(n) = \#\{\pi \in \mathfrak{S}_n : \mathrm{is}(\pi) \leq k\}$。
• 将 $P_n(x)$ 表示为差值 $u_k(n) - u_{k-1}(n)$，从而通过行列式 $U_k(x) = \det(I_{i-j}(2x))_{i,j=1}^k$ 计算系数。
• 定义 $M_{2n}(x) = \sum_k M_{2n,k} x^k$，其中 $M_{2n,k}$ 表示在 $[2n]$ 上交叉数为 $k$ 的匹配数，使用 Grabiner-Magyar 的行列式公式 $V_k(x) = \det(I_{i-j}(2x) - I_{i+j}(2x))_{i,j=1}^k$。
• 计算 $M_{2n,k} = v_k(n) - v_{k-1}(n)$，其中 $v_k(n)$ 为交叉数 $\leq k$ 的匹配数，从 $V_k(x)$ 推导出 $M_{2n}(x)$。
• 引入 $\infty$-$q$-对数凸性和相对于 $q$-对数凸性的 $k$ 阶对数凹性概念，将经典对数凹性推广至多项式序列。
• 利用 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 在 $n \leq 18$ 和 $n \leq 15$ 时的显式多项式展开，对 $q$-对数凸性和高阶对数凹性猜想进行经验测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式 $P_n(x)$（按最长递增子序列长度生成排列数）是否对所有 $n \geq 1$ 均为对数凹性？
• RQ2 序列 $\{P_n(x)\}$ 是否对所有 $n \geq 1$ 均为强 $q$-对数凸性且 $\infty$-$q$-对数凸性？
• RQ3 按交叉数计数匹配的多项式 $M_{2n}(x)$ 是否对所有 $n \geq 1$ 均为对数凹性且 $\infty$-$q$-对数凸性？
• RQ4 Boros-Moll 多项式序列是否为 $\infty$-$q$-对数凸性且相对于 $\infty$-$q$-对数凸性具有任意阶对数凹性？
• RQ5 在 $n \leq 15$ 条件下，$M_{2n}(x)$ 的系数是否在 $q$-对数凸性下表现出高阶对数凹性？

主要发现

• 对于 $n \leq 18$，多项式 $P_n(x)$ 为对数凹性，其系数 $P_{n,k}$ 通过 Gessel 的行列式公式计算得出。
• 对于 $n \leq 18$，$P_n(x)$ 展现出强 $q$-对数凸性，且序列 $\{P_n(x)\}$ 被猜想为 $\infty$-$q$-对数凸性。
• 对于 $n \leq 15$，多项式 $M_{2n}(x)$ 为对数凹性，其系数为 4-对数凹性，支持了 $\infty$-$q$-对数凸性的猜想。
• 对于 $n \leq 14$，序列 $\{M_{2n}(x)\}$ 被发现为 $q$-$3$-对数凹性，暗示其具有 $q$-$\infty$-对数凸性。
• Boros-Moll 多项式被猜想为 $\infty$-$q$-对数凸性且相对于 $\infty$-$q$-对数凸性具有任意阶对数凹性。
• 为 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 提供了至 $n=18$ 和 $n=15$ 的显式展开，例如 $P_{18}(x)$ 的 $x^{18}$ 项系数为 1，$x^2$ 项系数为 477638699。