[论文解读] Log-concavity of volume and complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity

Tamás Darvas, Eleonora Di Nezza+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用 39

一句话总结

本文在紧致 Kähler 流形上建立了具有指定奇性类型的复 Monge-Ampère 方程解的存在性与唯一性，消除了此前对无界支集较小的限制。它证实了闭正 (1,1)-当前沿的体积的对数凹性，并揭示了相对全纯势论与凸几何中 Brunn-Minkowski 理论之间深层的对应关系。

ABSTRACT

Let $(X,\\omega)$ be a compact K\\"ahler manifold. We prove the existence and uniqueness of solutions to complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity type. Compared to previous work, the assumption of small unbounded locus is dropped, and we work with general model type singularities. We state and prove our theorems in the context of big cohomology classes, however our results are new in the K\\"ahler case as well. As an application we confirm a conjecture by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi concerning log-concavity of the volume of closed positive $(1,1)$-currents. Finally, we show that log-concavity of the volume in complex geometry corresponds to the Brunn-Minkowski inequality in convex geometry, pointing out a dictionary between our relative pluripotential theory and $P$-relative convex geometry. Applications related to stability and existence of csck metrics are treated elsewhere.

研究动机与目标

• 解决 Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi 长期以来关于闭正 (1,1)-当前沿体积泛函对数凹性的猜想。
• 在不假设无界支集较小的条件下，建立具有指定奇性类型的复 Monge-Ampère 方程解的存在性与唯一性。
• 将 Kołodziej 以及 Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi 的先前结果推广至大上同调类与一般模型型奇性类型的情形。
• 揭示复几何中相对全息势论与 P-相对凸几何之间精确的对应关系，特别是与 Brunn-Minkowski 不等式的关系。

提出的方法

• 引入相对 Kołodziej 估计（定理 3.3）作为关键技术工具，以控制解的 $L^p$-可积性。
• 使用相对包络 $P_{\theta}[\bullet]$ 定义并刻画模型型奇性，确保奇性类型具有良好的行为。
• 应用全息势论定义 $u \in \textup{PSH}(X,\theta)$ 的非全纯极值 Monge-Ampère 测度 $\theta_u^n$，从而在当前沿的意义下表述方程。
• 通过支撑函数与环面模型势 $\phi_P$，在 $\mathbb{R}^n$ 中的凸体与正当前沿的奇性之间建立对应关系。
• 通过 $\mathbb{CP}^n$ 上的混合 Monge-Ampère 积，将凸几何中的 Brunn-Minkowski 不等式转化为复几何不等式。
• 利用 $(S^1)^n$ 的作用不变性，将问题约化至环面情形，从而可应用凸分析与容量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设无界支集较小的条件下，能否求解具有指定奇性类型的复 Monge-Ampère 方程？
• RQ2 在紧致 Kähler 流形上，闭正 (1,1)-当前沿的体积泛函是否对数凹？
• RQ3 奇异度量的相对全息势论在多大程度上镜像了凸体的 Brunn-Minkowski 理论？
• RQ4 Aubin-Yau 型方程（具有指数非线性）的解在何种行为下表现？
• RQ5 度量的奇性类型与其关联的 Monge-Ampère 测度可积性之间存在何种精确关系？

主要发现

• 定理 A(i) 建立了方程 $\theta_u^n = f\omega^n$ 解 $u$ 的存在性与唯一性（至多相差一个常数），其中 $[u] = [\phi]$，条件为 $[\phi]$ 是模型型奇性，且 $f \in L^p(\omega^n)$，$p > 1$，满足 $\int_X f\omega^n = \int_X \theta_\phi^n > 0$。
• 定理 A(ii) 将此结果推广至 Aubin-Yau 型方程 $\theta_u^n = e^{\lambda u}f\omega^n$，在相同条件下，对任意 $\lambda > 0$ 证明了解的存在性与唯一性。
• Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi 的对数凹性猜想得到完全证实：体积泛函 $[\phi] \mapsto \int_X \theta_\phi^n$ 在奇性类型空间上是对数凹的。
• 本文建立了精确对应关系：凸几何中的 Brunn-Minkowski 不等式对应于复几何中的体积对数凹性，混合 Monge-Ampère 积对应于混合体积。
• 通过体积-容量比较，证明了在 $\mathbb{CP}^n$ 上具有环面对称性的 Monge-Ampère 方程的解有界，前提是数据满足某种 $L^{n+\delta}$ 可积性条件。
• 混合 Monge-Ampère 积 $\int_{\mathbb{CP}^n} \prod_{j=1}^n (r\omega_{FS} + i\partial\bar{\partial}\phi_{P_j})$ 等于 $\frac{n!}{2^n} \textup{MV}(P_1,\ldots,P_n)$，从而证明了 Brunn-Minkowski 不等式的复几何类比。