[论文解读] Log minimal model program for the moduli space of stable curves: The first flip

Brendan Hassett, Donghoon Hyeon|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 42

一句话总结

该论文将对数极 canonical 模型 $\overline{M}_g(7/10)$ 构造为双 canonical 曲线的 Chow 变体的几何不变理论（GIT）商，其 Mori 反转 $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ 则构造为这些曲线的 Hilbert 模的 GIT 商。该研究识别了稳定曲线模空间对数极小模型程序中的首次反转，表明在 $\alpha = 7/10 + \epsilon$ 处的收缩将椭圆桥（elliptic bridges）收缩，而反转则以具有节点的曲线替代之，通过 GIT 稳定性条件提供了模解释。

ABSTRACT

We give a geometric invariant theory (GIT) construction of the log canonical model $\bar M_g(α)$ of the pairs $(\bar M_g, αδ)$ for $α\in (7/10 - ε, 7/10]$ for small $ε\in \mathbb Q_+$. We show that $\bar M_g(7/10)$ is isomorphic to the GIT quotient of the Chow variety bicanonical curves; $\bar M_g(7/10-ε)$ is isomorphic to the GIT quotient of the asymptotically-linearized Hilbert scheme of bicanonical curves. In each case, we completely classify the (semi)stable curves and their orbit closures. Chow semistable curves have ordinary cusps and tacnodes as singularities but do not admit elliptic tails. Hilbert semistable curves satisfy further conditions, e.g., they do not contain elliptic bridges. We show that there is a small contraction $Ψ: \bar M_g(7/10+ε) o \bar M_g(7/10)$ that contracts the locus of elliptic bridges. Moreover, by using the GIT interpretation of the log canonical models, we construct a small contraction $Ψ^+ : \bar M_g(7/10-ε) o \bar M_g(7/10)$ that is the Mori flip of $Ψ$.

研究动机与目标

• 将对数极 canonical 模型 $\overline{M}_g(7/10)$ 构造为双 canonical 曲线的 Chow 变体的 GIT 商。
• 通过双 canonical 曲线的 Hilbert 模的 GIT 商实现 $\alpha = 7/10 + \epsilon$ 处收缩的 Mori 反转。
• 对 c-半稳定与 h-半稳定曲线进行分类，识别对数极小模型程序中被收缩与反转的子簇。
• 通过 GIT 稳定性条件为 $\overline{M}_g$ 的对数 MMP 中首次反转提供模解释。

提出的方法

• 将 $\overline{M}_g(7/10)$ 构造为双 canonical 曲线的 Chow 变体的 GIT 商，参数化具有节点、尖点与具有节点的曲线的 c-半稳定曲线。
• 将 $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ 构造为双 canonical 曲线的 Hilbert 模的 GIT 商，参数化不包含椭圆桥的 h-半稳定曲线。
• 使用 Hilbert-Mumford 准则与一维一参数子群分析确定半稳定性并计算 Hilbert-Mumford 指标。
• 应用吸引域技术比较轨道闭包，确定在 GIT 商中哪些曲线被等同。
• 分析一维一参数子群对曲线的作用，验证所构造的曲线具有闭轨道并满足稳定性条件。
• 使用形变理论与自同构群分析表明，某些曲线构型（例如闭合的玫瑰链）不在其他构型的吸引域中，从而确保模空间的正确紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定曲线模空间的对数极 canonical 模型 $\overline{M}_g(7/10)$ 的几何结构是什么？
• RQ2 如何通过 GIT 构造实现 $\overline{M}_g$ 的对数极小模型程序中的首次反转？
• RQ3 定义 $\overline{M}_g(7/10)$ 与 $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ 所参数化曲线的精确稳定性条件（c-半稳定与 h-半稳定）是什么？
• RQ4 在 $\alpha = 7/10$ 处的反转具有何种几何意义？它如何将椭圆桥转化为具有节点的曲线？
• RQ5 自同构群与一维一参数子群作用如何决定所构造模空间的半稳定性与轨道结构？

主要发现

• 对数极 canonical 模型 $\overline{M}_g(7/10)$ 同构于双 canonical 曲线的 Chow 变体的 GIT 商，参数化具有普通尖点与具有节点的曲线，但不包含椭圆尾部。
• 空间 $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ 同构于双 canonical 曲线的 Hilbert 模的 GIT 商，参数化不包含椭圆桥的 h-半稳定曲线。
• 存在一个极小收缩 $\Psi: \overline{M}_g(7/10 + \epsilon) \to \overline{M}_g(7/10)$，其将椭圆桥的子簇收缩。
• 反转 $\Psi^+: \overline{M}_g(7/10 - \epsilon) \to \overline{M}_g(7/10)$ 是 $\Psi$ 的 Mori 反转，通过在切空间上的 $\mathbb{G}_m$-作用将每个椭圆桥替换为具有节点的曲线。
• 对于一般椭圆桥 $C$，其纤维 $(\Psi^+ among the curves in the moduli space。