[论文解读] Log-Sobolev inequalities on the horizontal path space of a totally geodesic foliation

Fabrice Baudoin, Qi Feng|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文利用马利avin微积分，在全测地黎曼叶状结构的水平路径空间上建立了对数索博列夫不等式，证明了关于一类奥尔诺斯坦-乌hlenbeck算子的超收缩性，并在曲率与挠率假设下推导出水平布朗运动的精确集中与尾部估计。

ABSTRACT

We develop a Malliavin calculus on the horizontal path space of a totally geodesic Riemannian foliation. As a first application, under suitable assumptions, we prove a log-Sobolev inequality for a natural one-parameter family of infinite-dimensional Ornstein-Uhlenbeck type operators. As a second application, we obtain concentration and tail estimates for the horizontal Brownian motion of the foliation.

研究动机与目标

• 在全测地黎曼叶状结构的水平路径空间上建立马利avin微积分框架。
• 在该路径空间上，为一参数族无穷维奥尔诺斯坦-乌hlenbeck算子证明对数索博列夫不等式。
• 在曲率与杨-米尔斯型挠率条件下，推导水平布朗运动的集中与尾部估计。
• 证明路径空间上的对数索博列夫不等式与这些算子生成的热半群的超收缩性等价。
• 在曲率与挠率约束下，建立水平布朗运动路径上确界的精确指数尾部界限。

提出的方法

• 利用Bott联络与水平拉普拉斯算子导出的分部积分公式，在水平路径空间上发展马利avin微积分。
• 应用水平布朗运动泛函的Clark-Ocone表示公式，实现在路径空间上的随机分析。
• 改编E. P. Hsu的方法，利用Clark-Ocone表示与马利avin导数估计，在路径空间上证明对数索博列夫不等式。
• 利用对数索博列夫不等式，通过Ledoux方法推导集中不等式，建立泛函不等式与尾部行为之间的联系。
• 通过水平里奇曲率的曲率界与算子 $\mathbf{J}^2$ 控制挠率，推导指数尾部估计。
• 通过研究依赖于 $\varepsilon$ 的度量 $g_\varepsilon$ 及其对应距离 $d_\varepsilon$ 的收敛性，分析子黎曼极限 $\varepsilon \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用随机分析在全测地叶状结构的无穷维路径空间上建立对数索博列夫不等式？
• RQ2 叶状结构的曲率与挠率如何影响水平布朗运动的集中性质？
• RQ3 路径空间上的对数索博列夫不等式与相关奥尔诺斯坦-乌hlenbeck半群的超收缩性之间存在何种关系？
• RQ4 在曲率与挠率约束下，水平布朗运动路径上确界的精确尾部估计是什么？
• RQ5 在子黎曼极限 $\varepsilon \to 0$ 下，尾部界限的行为如何？

主要发现

• 在叶状结构全测地且杨-米尔斯的假设下，利用马利avin微积分与Clark-Ocone表示，建立了水平路径空间上的对数索博列夫不等式。
• 对数索博列夫不等式蕴含了在路径空间上由一参数族奥尔诺斯坦-乌hlenbeck型算子生成的热半群的超收缩性。
• 推导出一个集中不等式：$\mathbb{P}_x\left(\sup_{0\leq t\leq T}d_\varepsilon(X_t,x) \geq \mathbb{E}_x[\sup_{0\leq t\leq T}d_\varepsilon(X_t,x)] + r\right) \leq \exp\left(-\frac{r^2}{2Te^{(K+\kappa/\varepsilon)T}}\right)$，其显式依赖于曲率与挠率。
• 在 $K=0$ 且 $-\frac{1}{4}\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}}(J_Z^2) \geq \rho_2\|Z\|^2_{\mathcal{V}}$ 条件下，获得一个下尾界：$\liminf_{r\to\infty} \frac{1}{r^2}\ln\mathbb{P}_x\left(\sup_{0\leq t\leq T}d_\varepsilon(X_t,x) \geq r\right) \geq -\frac{1}{T}\left(\frac{D}{n} + \frac{4\varepsilon^2}{T}\frac{3D}{2\rho_2n}\ln(2)\right)$，其中 $D = \left(1 + \frac{3\kappa}{2\rho_2}\right)n$。
• 在子黎曼极限（$\varepsilon \to 0$）下，上尾界变为 $\limsup_{r\to\infty} \frac{1}{r^2}\ln\mathbb{P}_x\left(\sup_{0\leq t\leq T}d(X_t,x) \geq r\right) \leq -\frac{1}{2T}$，下界为 $\geq -\frac{D}{2nT}$，其中 $D = \left(1 + \frac{3\kappa}{2\rho_2}\right)n$。
• 热核满足下界 $p(x,y,t) \geq \frac{C}{\mu(B(x,\sqrt{t}))}\exp\left(-\frac{d(y,x)^2}{t}\left(\frac{D}{n} + \frac{4\varepsilon^2}{t}\frac{3D}{2\rho_2n}\ln(2)\right)\right)$，该不等式支持了尾部估计。