[论文解读] Logarithmic bounds for isoperimetry and slices of convex sets

Bo’az Klartag|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2023

Point processes and geometric inequalities被引用 16

一句话总结

在 R^n 的各向同性对数凹测度下，通过改进的对数凹 Lichnerowicz 不等式和随机局部化，在 sqrt(log n) 的因子内证明 Bourgain 的切割猜想和 KLS 等周不等式猜想。

ABSTRACT

We prove that the Bourgain slicing conjecture and the Kannan-Lovász-Simonovits (KLS) isoperimetric conjecture in $\mathbb{R}^n$ hold true up to a factor of $\sqrt{\log n}$. A new ingredient used in the proof is an improved log-concave Lichnerowicz inequality.

研究动机与目标

• 激发并解决 Bourgain 的切割问题和 KLS 猜想，普适地至多达到 sqrt(log n) 的因子，对于 R^n 中的凸集。
• 发展并应用改进的对数凹 Lichnerowicz 不等式，以连接 Poincaré 常数与等周常数。
• 利用 Eldan 的随机局部化将谱界转化为几何切割和等周估计。

提出的方法

• 引入 t-统一对数凹度度量并证明改进的对数凹 Lichnerowicz 不等式：C_P(μ) ≤ sqrt{||Cov(μ)||_op / t} ≤ 1/t。
• 分析相关拉普拉斯算子 L_μ 的特征函数，并使用 Bochner 型公式将梯度项与协方差联系起来。
• 使用 Eldan 的随机局部化（tilt 过程）来界定协方差的演化，并得到对 KLS 常数 ψ_n 的界限。
• 通过已建立的不等式 L_n ≤ C ψ_n 及已知等价关系，将 KLS 界 ψ_n 与切割常数 L_n 联系起来。
• 采用近似引理处理正则性并约化为绝对连续的对数凹测度，同时保持 Poincaré 常数。
• 使用局部化的 Bochner 公式和 H^{-1} 范数的考量，获得通向主要不等式的替代途径。

实验结果

研究问题

• RQ1 1 对于在 R^n 中等向同性的对数凹测度，L_n 即 Bourgain 切割常数可以建立的普遍界限是什么？
• RQ2 2 是否可以将 KLS 等周常数 ψ_n 受一个关于 n 的普适函数所界限，理想情况是 sqrt(log n)？
• RQ3 3 改进的对数凹 Lichnerowicz 不等式是否能在对数凹设定中提供更精准的 Poincaré 常数与协方差结构之间的联系？
• RQ4 4 如何利用随机局部化将谱信息转化为几何切割与等周结果？
• RQ5 5 在证明这些界时，哪些正则化约简是允许的而不损失关键常数？

主要发现

• L_n ≤ C sqrt(log n) 对所有 n ≥ 2，改进了以往界限。
• ψ_n ≤ C sqrt(log n)，在对数域内为 KLS 猜想建立了接近最优的界。
• 改进的对数凹 Lichnerowicz 不等式：C_P(μ) ≤ sqrt{||Cov(μ)||_op / t} ≤ 1/t，适用于 t-统一对数凹 μ。
• 通过 Bochner 型等式，建立 Poincaré 常数、协方差算子与基于梯度的泛函之间的定量联系。
• 一种随机局部化框架，给出对协方差演化的界限，因此也给出对等周常数的界限。
• 证明改进不等式与随机局部化的结合能够得到主要的对数界。