[论文解读] Logarithmic enhancements in conformal perturbation theory and their real time interpretation

David Berenstein, Alexandra Miller|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Mathematical functions and polynomials被引用 4

一句话总结

本文通过维度正规化研究共形微扰理论中的对数发散，表明这些发散源于圆柱面上时变微扰理论中的共振行为。通过将这些发散映射到由振荡微扰引起的时序（共振）跃迁，建立了其在实时物理中的解释，将平面上的紫外/红外发散与时间演化中的物理共振联系起来。

ABSTRACT

We study various corrections of correlation functions to leading order in conformal perturbation theory, both on the cylinder and on the plane. Many problems on the cylinder are mathematically equivalent to those in the plane if we give the perturbations a position dependent scaling profile. The integrals to be done are then similar to the study of correlation functions with one additional insertion at the center of the profile. We will be primarily interested in the divergence structure of these corrections when computed in dimensional regularization. In particular, we show that the logarithmic divergences (enhancements) that show up in the plane under these circumstances can be understood in terms of resonant behavior in time dependent perturbation theory, for a transition between states that is induced by an oscillatory perturbation on the cylinder.

研究动机与目标

• 理解在标准紫外/红外正规化之外，共形微扰理论中对数发散的起源。
• 将平面上相关函数中的发散与圆柱面上时变微扰理论中的共振跃迁联系起来。
• 利用维度正规化与施温格参数方法，为对数增强提供实时物理解释。
• 通过固定算符维数而改变时空维度 d，推广共形场论中维度正规化的应用。
• 通过威耳（Weyl）重标度变换与位置依赖形变，建立平面上发散与时间演化中共振行为之间的对应关系。

提出的方法

• 使用维度正规化，固定算符维数 h_D，改变时空维度 d，以调节相关函数中的发散。
• 应用威耳重标度变换，将平面上的相关函数映射到圆柱面，引入位置依赖的缩放因子，作为红外正规化器。
• 采用施温格参数表示法，计算包含振荡微扰的三点多函数积分。
• 通过变量替换与伽马函数恒等式，将积分转化为包含修正贝塞尔函数 K_ν 的形式。
• 引入第四组施温格参数，以处理分母中倒变量之和，从而提取发散结构。
• 分析积分中的指数因子，分离出与频率相关的项，这些项在时间演化中标志共振行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用固定算符维数的维度正规化时，共形微扰理论中对数发散的成因是什么？
• RQ2 平面上的发散如何与圆柱面上时变微扰理论中的物理共振行为相关联？
• RQ3 相关函数的发散结构能否被解释为由于振荡微扰引起的时序（共振）增长？
• RQ4 时空依赖形变 f(x) = |x|^{h_D - d} 如何调节红外发散并模拟圆柱几何？
• RQ5 修正贝塞尔函数 K_ν 在积分中如何编码频率相关的发散结构？

主要发现

• 当算符维数与时空维度 d 达到特殊值时，伽马函数的极点导致共形微扰理论中的对数发散。
• 平面上的发散等价于圆柱面上时变微扰理论中的共振跃迁，其中振荡微扰诱导了时序增长。
• 位置依赖形变 f(x) = |x|^{h_D - d} 提供了红外正规化，并模拟了将平面映射到圆柱面的威耳重标度变换。
• 积分结构简化为包含修正贝塞尔函数 K_ν 的形式，频率依赖性由 K_ν 的参数和阶数编码。
• 发散结构完全由包含频率差 ω_ij 的指数因子捕获，当频率对齐时，该因子标志出共振行为。
• 积分的最终表达式通过 Ω_j^2 = (ω_k - ω_l)^2 明确表现出对频率差的依赖，证实了对数增强的共振起源。