[论文解读] Logarithmic Gromov-Witten theory and double ramification cycles

Dhruv Ranganathan, Ajith Urundolil Kumaran|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文证明了关于全 toric 边界相对的 toric 代数簇的对数 Gromov–Witten 循环属于曲线模空间对数 Chow 环的典范子环。作者提出一种基于稳定映射到对数代数环面的新技术，通过使用分段多项式函数来编码几何数据，避免了对尚未建立的对数虚拟局部化公式的依赖，表明这些循环可分解为双 ramification 循环与典范类的乘积。

ABSTRACT

Abstract We examine the logarithmic Gromov–Witten cycles of a toric variety relative to its full toric boundary. The cycles are expressed as products of double ramification cycles and natural tautological classes in the logarithmic Chow ring of the moduli space of curves. We introduce a simple new technique that relates the Gromov–Witten cycles of rigid and rubber geometries; the technique is based on a study of maps to the logarithmic algebraic torus. By combining this with recent work on logarithmic double ramification cycles, we deduce that all logarithmic Gromov–Witten pushforwards, for maps to a toric variety relative to its full toric boundary, lie in the tautological ring of the moduli space of curves. A feature of the approach is that it avoids the as yet undeveloped logarithmic virtual localization formula, instead relying directly on piecewise polynomial functions to capture the structure that would be provided by such a formula. The results give a common generalization of work of Faber and Pandharipande, and more recent work of Holmes and Schwarz as well as Molcho and Ranganathan. The proof passes through general structure results on the space of stable maps to the logarithmic algebraic torus, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 证明关于全 toric 边界相对的 toric 代数簇的对数 Gromov–Witten 不变量属于 Mg,n 的对数 Chow 环的典范子环。
• 开发一种新方法，利用映射到对数代数环面来关联对数 Gromov–Witten 理论中的刚性与橡胶几何。
• 通过直接使用分段多项式函数来捕捉几何结构，避免依赖尚未发展的对数虚拟局部化公式。
• 在对数 Gromov–Witten 理论的背景下，推广并统一 Faber–Pandharipande、Holmes–Schwarz 与 Molcho–Ranganathan 的结果。
• 通过评估空间与热带几何，提供理解对数 GW 不变量典范性的框架。

提出的方法

• 引入并研究稳定映射到对数代数环面的空间，作为核心技术工具。
• 将评估空间定义为对应于标记点处接触阶的 toric 代数簇的 strata 的乘积。
• 在热带模空间上使用分段多项式函数，以表示对数 Chow 环中的典范类。
• 构建从对数稳定映射模空间到对数环面的映射，以关联刚性与橡胶几何。
• 利用近期关于对数双 ramification 循环的结果，将对数 GW 循环表示为 DR 循环与典范类的乘积。
• 应用热带交点理论，在热带曲线模空间上计算分段多项式，特别关注与 Hurwitz 数相关的秩-1 情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用已知的典范类表达对数 Gromov–Witten 循环在 toric 对中的形式？
• RQ2 是否可以在不使用对数虚拟局部化公式的情况下捕捉对数 GW 循环的结构？
• RQ3 对数代数环面在关联对数 Gromov–Witten 理论中刚性与橡胶几何方面起什么作用？
• RQ4 在热带模空间上定义的分段多项式函数在多大程度上编码了对数 GW 不变量的典范性？
• RQ5 在秩-1 情况下，对数双 ramification 循环如何与 Hurwitz 数等经典不变量相关联？

主要发现

• 所有关于 toric 对 (X, D) 的主对数 Gromov–Witten 循环均属于对数 Chow 环 logCH⋆(Mg,n) 的典范子环。
• 这些循环在推前到标准 Chow 环 CH⋆(Mg,n) 后，同样属于典范子环，推广了早期结果。
• 作者构建了一种基于稳定映射到对数代数环面的新技术，避免了对对数虚拟局部化公式的依赖。
• 证明了对数 GW 循环可分解为对数 Chow 环中双 ramification 循环与自然典范类的乘积。
• 在秩-1 情况下，该方法通过将对数双 ramification 循环与分段多项式类相交，恢复了经典 Hurwitz 数。
• 在热带模空间 Mtrop_0,11 上的分段多项式 γrub 在单个 8 维锥上取值为 1，得到交点数为 1，与热带交点理论一致。