[论文解读] Logarithmic Riemann-Hilbert correspondences for rigid varieties

Hansheng Diao, Kai‐Wen Lan+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文为 p-进局部域上的光滑刚性代数簇构建了一个 p-进 Riemann-Hilbert 对应，建立了从 de Rham p-进 étale 局域系统到满足 Griffiths 横向性的滤过代数向量丛与可积联络的张量函子。关键贡献在于通过留数特征值唯一确定的对具有对数极点的紧化空间的联络的典范扩张，以及在 Shimura 簇上与经典 Riemann-Hilbert 对应的一致性。

ABSTRACT

On any smooth algebraic variety over a $p$-adic local field, we construct a tensor functor from the category of de Rham $p$-adic étale local systems to the category of filtered algebraic vector bundles with integrable connections satisfying the Griffiths transversality, which we view as a $p$-adic analogue of Deligne's classical Riemann--Hilbert correspondence. A crucial step is to construct canonical extensions of the desired connections to suitable compactifications of the algebraic variety with logarithmic poles along the boundary, in a precise sense characterized by the eigenvalues of residues; hence the title of the paper. As an application, we show that this $p$-adic Riemann--Hilbert functor is compatible with the classical one over all Shimura varieties, for local systems attached to representations of the associated reductive algebraic groups.

研究动机与目标

• 为 p-进局部域上光滑代数簇建立 Deligne 经典 Riemann-Hilbert 对应的 p-进类比。
• 从 de Rham p-进 étale 局域系统构造一个张量函子，映射到满足 Griffiths 横向性的滤过代数向量丛与可积联络。
• 证明该函子与 Shimura 簇上经典 Riemann-Hilbert 对应的一致性，通过 Galois-交换比较同构实现。
• 发展对具有对数极点的紧化空间上联络的典范扩张理论，其由留数特征值刻画。
• 通过 Fontaine 的周期环 $B_{\text{dR}}$ 建立 p-进 étale 上同调与代数 de Rham 上同调比较的框架。

提出的方法

• 构造一个从 de Rham p-进 étale 局域系统到满足 Griffiths 横向性的滤过代数向量丛与可积联络的张量函子 $D_{\text{dR}}^{{\text{alg}}}$。
• 利用对数 adic 空间与周期层，特别是 $\mathcal{O}\mathbb{B}_{\text{dR},\log}$，在 p-进设定中定义 de Rham 条件。
• 建立对具有对数极点的紧化空间的联络的典范扩张，其中留数特征值唯一确定该扩张。
• 应用去完成化形式化方法处理上同调群的逆极限，并通过周期环上的 $\Gamma$-作用证明上同调一致性。
• 利用相对于 $B_{\text{dR}}$ 的滤过对数联络理论定义目标范畴，确保与滤过结构的一致性。
• 证明比较同构 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{k}},\mathbb{L})\otimes_{\mathbb{Q}_p} B_{\text{dR}} \cong H^i_{\text{dR}}(X,D_{\text{dR}}^{\text{alg}}(\mathbb{L}))\otimes_k B_{\text{dR}}$ 作为具有相容滤过的 Galois 模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个 p-进 Riemann-Hilbert 对应，以将 Deligne 的经典对应推广到 p-进域上的簇？
• RQ2 在 p-进设定中，de Rham p-进局域系统应映射到哪类滤过联络？
• RQ3 联络如何被典范地延拓到具有对数极点的紧化空间？留数特征值在此延拓中起什么作用？
• RQ4 所提出的 p-进 Riemann-Hilbert 函子是否与 Shimura 簇上的经典对应一致？
• RQ5 能否通过 $B_{\text{dR}}$ 建立 étale 上同调与 de Rham 上同调之间的 Galois-交换比较同构？

主要发现

• 本文构造了一个从 de Rham p-进 étale 局域系统到满足 Griffiths 横向性的滤过代数向量丛与可积联络的张量函子 $D_{\text{dR}}^{\text{alg}}$。
• 该函子与 Shimura 簇上经典 Riemann-Hilbert 对应一致，通过涉及 $B_{\text{dR}}$ 的 Galois-交换比较同构得以证明。
• 函子 $D_{\text{dR}}^{\text{alg}}$ 的像中的联络可典范地延拓到具有对数极点的紧化空间，且其唯一性由其留数的特征值决定。
• 比较同构 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{k}},\mathbb{L})\otimes_{\mathbb{Q}_p} B_{\text{dR}} \cong H^i_{\text{dR}}(X,D_{\text{dR}}^{\text{alg}}(\mathbb{L}))\otimes_k B_{\text{dR}}$ 被证明与典范滤过及 Galois 作用相容。
• 去完成化形式化方法被用于证明系统 $(\{\mathbb{B}_{r,m}\}_{m\geq 1},\widehat{\mathbb{B}}_{r,\infty},\Gamma)$ 是一个去完成化系统，从而确保 $\widehat{\mathbb{B}}_{r,\infty}$ 上有限投射模的良好模型存在。
• 该方法依赖于利用 $\xi$ 的幂零性通过递归论证提升上同调中的链，其范数有界，受 $|\varpi|^{-1}$ 控制，且常数依赖于上同调度。