[论文解读] Logarithmic singularities of Schwartz kernels and local invariants of conformal and CR structures

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文证明了，对于共形和CR-不变伪微分算子，Schwartz核与Green核的对数奇点可分别用Weyl共形不变量和CR不变量的线性组合表示，方法是借助共形几何中的Fefferman-Graham共形度量和CR几何中的Fefferman凯勒-洛伦兹共形度量。关键贡献在于，以不变几何形式表达了GJMS算子Green核对数奇点的表达式，特别地，给出了CR-Yamabe算子和Paneitz型算子的显式公式，其形式涉及曲率张量与不变量。

ABSTRACT

This paper consists of two parts. In the first part we show that in odd dimension, as well as in even dimension below the critical weight (i.e. half the dimension), the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of conformal invariant pseudodifferential operators are linear combinations of Weyl conformal invariants, i.e., of local conformal invariants arising from complete tensorial contractions of the covariant derivatives of the Lorentz ambient metric of Fefferman-Graham. In even dimension and above the critical weight exceptional local conformal invariants may further come into play. As a consequence, this allows us to get invariant expressions for the logarithmic singularities of the Green kernels of the GJMS operators (including the Yamabe and Paneitz operators). In the second part, we prove analogues of these results in CR geometry. Namely, we prove that the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of CR invariant Heisenberg pseudodifferential operators give rise to local CR invariants, and below the critical weight are linear combinations of complete tensorial contractions of the covariant derivatives of Fefferman's Kälher-Lorentz ambient metric. As a consequence, we can obtain invariant descriptions of the logarithmic singularities of the Green kernels of the CR GJMS operators of Gover-Graham (including the CR Yamabe operator of Jerison-Lee).

研究动机与目标

• 以局部共形不变量的形式表征共形不变伪微分算子的Schwartz核与Green核对数奇点。
• 将该表征方法推广至CR-不变Heisenberg伪微分算子，并将其奇点与局部CR不变量关联。
• 在共形与CR两种设定下，为GJMS算子Green核的对数奇点提供不变且几何化的表达式。
• 解析奇数维及低于临界权的偶数维中这些奇点的结构，并识别临界权之上的异常不变量。
• 证明在两种几何中，这些奇点均为共形度量的协变导数的完全收缩的线性组合。

提出的方法

• 利用度量变换下Schwartz核与Green核奇点的共形变换规律，推广Parker-Rosenberg、Gilkey与Paycha-Rosenberg的先前结果。
• 证明Riemann不变伪微分算子的对数奇点为局部Riemann不变量，可表示为曲率张量导数的完全收缩。
• 应用Bailey-Eastwood-Graham与Graham-Hirachi对局部共形不变量的分类结果，表明在奇数维及低于临界权的偶数维中，这些不变量为Weyl共形不变量。
• 利用Fefferman-Graham共形度量的里奇平坦性，减少独立Weyl共形不变量的数量，从而细化奇点结构。
• 通过使用Heisenberg演算与Fefferman的凯勒-洛伦兹共形度量，将该方法适配至CR几何，证明奇点具有共形变换性质，且为局部CR不变量。
• 应用CR版本的分类结果，表明低于临界权时，奇点为源自共形度量曲率的Weyl CR不变量的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形不变伪微分算子的Green核对数奇点如何与局部共形不变量相关？
• RQ2 Weyl共形不变量在奇数维及低于临界权的偶数维中，如何表征这些奇点？
• RQ3 在偶数维中，临界权及以上时，为何会出现额外的异常局部共形不变量？
• RQ4 CR-不变Heisenberg伪微分算子在多大程度上通过其核奇点产生局部CR不变量？
• RQ5 能否为CR GJMS算子（如CR-Yamabe算子）的对数奇点导出不变表达式？

主要发现

• 在奇数维及低于临界权的偶数维中，共形不变算子Green核的对数奇点为Fefferman-Graham共形度量协变导数的完全收缩所产生的Weyl共形不变量的线性组合。
• 对于GJMS算子（包括Yamabe算子与Paneitz算子），其Green核对数奇点可不变地表示为Weyl共形不变量的线性组合。
• 在临界权及以上偶数维中，奇点结构中可能额外出现由Bailey-Gover提出的异常局部共形不变量以及Graham-Hirachi不变量。
• 在CR几何中，CR不变算子Green核的对数奇点为局部CR不变量，且在低于临界权时，为Fefferman凯勒-洛伦兹共形度量的Weyl CR不变量的线性组合。
• 对于CR GJMS算子，Green核的奇点形式为 $ \gamma_{\boxdot_{\theta}^{(k)}}(x) = c_{\theta}^{(k)}(x) |d\theta^n \wedge \theta| $，其中 $ c_{\theta}^{(k)}(x) $ 为权为 $ n+1-k $ 的标量Weyl CR不变量的线性组合。
• 推导出显式公式：$ c_{\theta}^{(n)}(x) = 0 $，$ c_{\theta}^{(n-1)}(x) = \alpha_n |S|_{\theta}^2 $，以及 $ c_{\theta}^{(n-2)}(x) $ 涉及 $ S_{i\bar{j}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{k}l} S_{k\bar{l}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{p}q} S_{p\bar{q}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{i}j} $，$ S_{i\phantom{}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{j\bar{k}} S^{\bar{i}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{j}p} S^{\bar{p}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{q}k} $，以及CR Fefferman-Graham不变量 $ \Phi_\theta $。