[论文解读] Logarithmic singularity of the Szegö kernel and a global invariant of strictly pseudoconvex domains

Kengo Hirachi|ArXiv.org|Sep 10, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

该论文证明了严格强伪凸域的Szegö核对数奇点系数的积分为双全纯不变量，其值不依赖于接触形式的选择，且在光滑域形变下保持不变。进一步表明该不变量与Bergman体积元的体积展开中对数项的系数一致，通过核奇点的微局部分析，建立了CR几何与全局不变量之间的联系。

ABSTRACT

The Szego kernel of a strictly pseudoconvex domain admits a singularity on the boundary diagonal, which consists of a pole and logarithmic type singularity. In this paper, we prove that the integral over the boundary of the coefficient of the logarithmic singularity gives a biholomorphic invariant of a domain, or a CR invariant of the boundary. We also show that the same invariant appears as the coefficient of the logarithmic term of the volume expansion of the domain with respect to the Bergman volume element.

研究动机与目标

• 确定严格强伪凸域上Szegö核对数奇点导出的全局不变量。
• 证明该不变量不依赖于边界上伪Hermitian结构的选择。
• 证明该不变量在域的光滑一参族形变下保持不变。
• 将该不变量与Bergman体积元的渐近体积展开相关联。
• 建立Bergman体积中对数项系数与Szegö核对数奇点系数积分之间的对应关系。

提出的方法

• 利用Kashiwara对Bergman核的微局部分析，推导出刻画Szegö核奇点（至多一个常数）的微分方程组。
• 将相同的微分方程框架应用于Szegö核，利用其在经典解析拟微分算子框架下的再生性质。
• 利用由微分方程组导出的接触形式变化下Szegö核的变分公式。
• 分析Szegö核在边界附近的渐近展开，识别出对数项系数为CR不变密度。
• 通过$S^1$作用与齐次截面，利用基流形上的纤维化结构，将Bergman核与Szegö核联系起来。
• 利用Szegö核的Laplace变换表示，将其奇点行为与截断下Bergman体积的渐近行为联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Szegö核对数奇点系数的积分是否构成域的双全纯不变量？
• RQ2 该不变量在严格强伪凸域的光滑一参族形变下是否保持不变？
• RQ3 该不变量能否与Bergman体积元渐近展开中的某系数对应？
• RQ4 Szegö核的微局部结构如何与CR几何中的全局不变量相关？
• RQ5 Bergman体积展开中对数项与Szegö核所得CR不变系数之间的确切关系为何？

主要发现

• 积分 $ L(\bar{\rho}\theta) = \int_{\partial\Omega} \psi_\theta \, \theta \wedge (d\theta)^{n-1} $ 是域 $ \Omega $ 的良好定义的双全纯不变量，不依赖于接触形式 $ \theta $ 的选择。
• 该不变量 $ L(\partial\Omega) $ 在域的光滑 $ C^\infty $ 形变下保持不变，其证明基于由微分方程组导出的变分公式。
• 当 $ n=2 $ 时，被积函数 $ \psi_\theta|_{\partial\Omega} $ 非平凡，涉及标量曲率的次Laplacian与挠率曲率，但由于Stokes定理，$ L(\partial\Omega) = 0 $。
• 在高维情形下，$ \psi_\theta|_{\partial\Omega} $ 可能非零，但积分 $ L(\partial\Omega) $ 仍为全局不变量，尽管未计算出显式的非平凡例子。
• 相同的不变量 $ L(\partial\Omega) $ 出现在 $ \operatorname{Vol}(\Omega_\varepsilon) = \int_{\Omega_\varepsilon} B(z,\bar{z}) \, dv $ 的体积展开中对数项的系数，当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时。
• 微函数关系 $ -D_\rho S_x(\rho) = B_x(\rho) $ 成立，通过微分算子将Szegö核与Bergman核联系起来，从而支持了体积展开的分析。