[论文解读] Logical shadow tomography: Efficient estimation of error-mitigated observables

Hong-Ye Hu, Ryan LaRose+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种名为逻辑阴影量子态层析成像（Logical Shadow Tomography, LST）的混合量子-经典误差缓解技术，通过在逻辑量子态上使用基于 Clifford 的阴影层析成像，高效估算误差缓解后的可观测量。通过经典后处理将噪声密度矩阵投影到逻辑码空间，LST 实现了样本复杂度的指数级降低——对于 $k$ 个逻辑量子比特，其复杂度为 $O(4^k)$，优于子空间扩展方法（$O(2^N)$），且无需额外的量子副本或内存。

ABSTRACT

We introduce a technique to estimate error-mitigated expectation values on noisy quantum computers. Our technique performs shadow tomography on a logical state to produce a memory-efficient classical reconstruction of the noisy density matrix. Using efficient classical post-processing, one can mitigate errors by projecting a general nonlinear function of the noisy density matrix into the codespace. The subspace expansion and virtual distillation can be viewed as special cases of the new framekwork. We show our method is favorable in the quantum and classical resources overhead. Relative to subspace expansion which requires $O\\left(2^{N} \ ight)$ samples to estimate a logical Pauli observable with $[[N, k]]$ error correction code, our technique requires only $O\\left(4^{k} \ ight)$ samples. Relative to virtual distillation, our technique can compute powers of the density matrix without additional copies of quantum states or quantum memory. We present numerical evidence using logical states encoded with up to sixty physical qubits and show fast convergence to error-free expectation values with only $10^5$ samples under 1% depolarizing noise.

研究动机与目标

• 开发一种在噪声中等规模量子（NISQ）设备上估计误差缓解后量子可观测量的实用且可扩展的方法。
• 降低现有误差缓解技术（如子空间扩展和虚拟纯化）的量子与经典资源开销。
• 仅使用标准量子硬件（含 Clifford 门和单次测量）实现高保真度的可观测量估计。
• 证明在真实噪声模型下，误差缓解性能可随码距和逻辑量子比特数量有利地扩展。
• 提供一个统一框架，通过高效的经典后处理，对现有误差缓解方法进行泛化与改进。

提出的方法

• 该方法对通过纠错码编码的逻辑量子态执行阴影层析成像，通过随机 Clifford 单元和计算基测量生成经典阴影。
• 利用逻辑码空间将噪声物理密度矩阵投影到低维子空间，通过经典后处理实现误差抑制。
• 该框架可估算噪声密度矩阵任意非线性函数 $f(\rho_{\mathcal{E}})$，包括用于虚拟纯化的幂次运算和用于子空间扩展的投影运算。
• 通过仅对一个逻辑态进行编码并在不同阴影电路中重复使用，避免了对多个量子态副本或额外量子内存的需求。
• 经典后处理时间复杂度为多项式，且可并行化，从而实现误差缓解期望值的高效重建。
• 该方法假设噪声为独立且去极化型，误差抑制随 $\mathcal{O}(p^d)$ 缩放，其中 $d$ 为码距，$p$ 为噪声率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对逻辑态执行阴影层析成像是否能实现在无需额外量子副本或内存情况下的高效、可扩展误差缓解？
• RQ2 误差缓解可观测量估计的样本复杂度是否仅随逻辑量子比特数增长，而非物理量子比特数？
• RQ3 该框架是否能在资源效率方面统一并超越现有技术（如子空间扩展和虚拟纯化）？
• RQ4 在真实 NISQ 环境下，该方法的性能如何随码距增加和噪声水平上升而变化？
• RQ5 是否存在一种实用且经典高效的后处理流水线，可在大规模逻辑系统上实现高保真度的可观测量估计？

主要发现

• LST 的样本复杂度对 $k$ 个逻辑量子比特为 $O(4^k)$，相比子空间扩展方法（对 $N$ 个物理量子比特为 $O(2^N)$）具有指数级优势。
• 数值模拟显示，在 1% 去极化噪声下，仅需 $10^5$ 个样本即可收敛至无误差期望值，即使在多达 60 个物理量子比特的系统中亦成立。
• 该方法实现了对编码有 $n=60$ 个物理量子比特和 $2^{59}$ 个稳定子的逻辑态的子空间扩展，而直接采样方法在该规模下不可行。
• 虚拟纯化无需额外量子副本或交换操作，仅依赖于对阴影的经典后处理实现。
• 该框架支持子空间扩展与虚拟纯化的组合，数值结果中进一步降低了误差。
• 在独立去极化噪声下，误差抑制随 $\mathcal{O}(p^d)$ 缩放，与码距 $d$ 的理论预期一致。