[论文解读] Logics of Essence and Accident

Jie Fan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文提出了一种使用原始本质算子的de dicto形式化本质与偶然性，建立了其模型理论与双生关系框架，并提出了一种新颖的、非自反的典范模型构造方法，解决了先前工作中存在的语法-语义不匹配问题。该文证明了在多种框架类上的完备性，包括此前缺失的对称框架，并提供了一种自动计算特殊框架所需公理的方法，回应了早期文献中的开放问题。

ABSTRACT

In the literature, essence is formalized in two different ways, either de dicto, or de re. Following \cite{Marcos:2005}, we adopt its de dicto formalization: a formula is essential, if once it is true, it is necessarily true; otherwise, it is accidental. In this article, we study the model theory and axiomatization of the logic of essence and accident, i.e. the logic with essence operator (or accident operator) as the only primitive modality. We show that the logic of essence and accident is less expressive than modal logic on non-reflexive models, but the two logics are equally expressive on reflexive models. We prove that some frame properties are undefinable in the logic of essence and accident, while some are. We propose the suitable bisimulation for this logic, based on which we characterize the expressive power of this logic within modal logic and within first-order logic. We axiomatize this logic over various frame classes, among which the symmetric case is missing, and our method is more suitable than those in the literature. We also find a method to compute certain axioms used to axiomatize this logic over special frames in the literature. As a side effect, we answer some open questions raised in \cite{Marcos:2005}.

研究动机与目标

• 为解决先前本质与偶然性逻辑公理化中存在的语法-语义不匹配问题，即典范框架为自反的，但语义定义在任意框架上。
• 为本质与偶然性逻辑开发一种合适的双生关系概念，以在模态逻辑与一阶逻辑范围内刻画其表达能力。
• 提供一种更合适且通用的方法，用于在各种框架类上公理化该逻辑，特别是填补对称框架的空白。
• 回答[11]中提出的关于框架可定义性与完备性的开放问题。
• 提供一种自动方法，用于计算用于刻画特定框架类型下该逻辑所需公理。

提出的方法

• 提出一种新的典范模型构造方法，其中典范关系通过公式集 $\{\varphi \mid \circ\varphi \land \varphi \in s\}$ 定义，避免了自动的自反性。
• 引入一种针对本质与偶然性逻辑的定制化双生关系，基于典范关系，用于比较模型并分析其表达能力。
• 在自反框架上对 $\mathcal{L}(\Box)$ 到 $\mathcal{L}(\circ)$ 进行翻译，以推导出对称框架上的完备性结果。
• 应用框架对应性与可定义性技术，确定哪些框架性质可在该逻辑中表达。
• 使用标准证明论方法（完备性、正确性）并结合改进的典范模型，建立在框架类上的强完备性。
• 开发一种系统化方法，通过分析框架条件及其逻辑等价形式，计算特殊框架类的公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为本质与偶然性逻辑构造一种典范模型，以避免先前工作中存在的自反性偏差？
• RQ2 本质与偶然性逻辑中哪些框架性质是可定义的，哪些不是？
• RQ3 本质与偶然性逻辑的表达能力与标准模态逻辑相比如何？
• RQ4 对称框架上的正确公理化是什么，如何系统地推导出它？
• RQ5 能否开发一种自动方法，用于计算刻画特定框架类型下该逻辑所需公理？

主要发现

• 在非自反模型上，本质与偶然性逻辑的表达能力弱于模态逻辑，但在自反模型上二者表达能力相当。
• 该逻辑无法定义某些框架性质（例如非自反性），但可以定义其他性质（例如对称性、欧几里得性、传递性）。
• 提出了一种新的双生关系，能正确捕捉本质与偶然性逻辑中模型之间的逻辑等价性。
• 所提出的典范模型构造方法通过不强制自反性，避免了先前工作中存在的语法-语义不匹配问题。
• 该逻辑在 $\mathcal{S}5$-框架上被证明是强完备的，公理化为 $\mathbf{KB5}^\circ$，并通过从 $\mathcal{L}(\Box)$ 到 $\mathcal{L}(\circ)$ 的翻译，建立了对称框架上的完备性。
• 开发了一种自动方法，用于计算特殊框架类的公理，解决了[11]中的一个开放问题。