[论文解读] Long Alternating Paths Exist

Wolfgang Mulzer, Pável Valtr|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文证明了任意由 n 个红色点和 n 个蓝色点组成的凸位置点集，其非交叉交替路径的长度至少为 (1 + ε)n，其中 ε > 0 为某个绝对常数。该结果通过证明存在至少 (1/2 + ε)n 条边的分离双色匹配而实现，这是对平凡下界 n 的首次线性加法改进。关键技术包括分块分解与对点集结构化划分中随机匹配的概率分析。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $2n$ points in convex position, such that $n$ points are colored red and $n$ points are colored blue. A non-crossing alternating path on $P$ of length $\ell$ is a sequence $p_1, \dots, p_\ell$ of $\ell$ points from $P$ so that (i) all points are pairwise distinct; (ii) any two consecutive points $p_i$, $p_{i+1}$ have different colors; and (iii) any two segments $p_i p_{i+1}$ and $p_j p_{j+1}$ have disjoint relative interiors, for $i eq j$. We show that there is an absolute constant $\varepsilon > 0$, independent of $n$ and of the coloring, such that $P$ always admits a non-crossing alternating path of length at least $(1 + \varepsilon)n$. The result is obtained through a slightly stronger statement: there always exists a non-crossing bichromatic separated matching on at least $(1 + \varepsilon)n$ points of $P$. This is a properly colored matching whose segments are pairwise disjoint and intersected by common line. For both versions, this is the first improvement of the easily obtained lower bound of $n$ by an additive term linear in $n$. The best known published upper bounds are asymptotically of order $4n/3+o(n)$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在双色凸点集中，非交叉交替路径的下界是否能超越平凡的 n 值。
• 为双色凸配置中的非交叉交替路径与分离匹配，首次实现超过 n 的超线性加法改进。
• 为凸点集中的分离双色匹配与单色匹配提供构造性下界，证明存在至少 (1/2 + ε)n 条边的匹配。
• 将结果推广至红蓝点数不等的一般情形，证明单色分离匹配也存在类似的下界。
• 通过将几何路径问题与循环二元词中的反回文子序列问题相联系，建立离散几何与串论之间的桥梁。

提出的方法

• 将 2n 个点划分为 k 个块，其中 k 为 n 的函数，以平衡局部与全局结构。
• 在这些 k 个块上定义一个随机块匹配过程，其中匹配的块以均匀随机方式选择。
• 通过利用每个块中颜色占优的性质，组合匹配块之间的边，构造出分离的双色匹配：使用每对匹配块中占多数的颜色形成不相交的边。
• 使用概率分析计算所得匹配中边的期望数量，证明其超过 n/2 的部分为 Ω(n) 量级。
• 应用一系列引理处理块配置不平衡的情况，确保即使在非对称情形下，仍可提取出较大的分离匹配。
• 通过调整块匹配框架，将结果推广至单色情形，证明在红蓝点数不等时，仍存在较大的分离单色匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 n 个红点和 n 个蓝点的双色凸点集中，非交叉交替路径的最优可能下界是多少？
• RQ2 非交叉交替路径与分离匹配的平凡下界 n 是否能通过一个与 n 线性相关的加法项得到改进？
• RQ3 是否存在常数 ε > 0，使得每个双色凸点集都存在至少 (1/2 + ε)n 条边的分离双色匹配？
• RQ4 此类匹配的存在性如何直接导致非交叉交替路径长度的相应改进？
• RQ5 当红蓝点数不等时，是否也能为分离单色匹配建立类似的下界？

主要发现

• 本文证明了存在常数 ε > 0，使得任意具有 n 个红点和 n 个蓝点的双色凸点集，均存在长度至少为 (1 + ε)n 的非交叉交替路径。
• 在任意此类配置中，均存在大小至少为 (1/2 + ε)n 条边的分离双色匹配，该结果通过引理 1.1 直接推出路径长度的改进。
• 该结果是首次在平凡下界 n 的基础上，通过一个与 n 线性相关的加法项实现改进，打破了此前 n + Ω(√n) 的界限。
• 对于单色情形，只要 n 足够大，在任意具有 2n 个点（n 个红点，n 个蓝点）的凸点集中，均存在大小至少为 (1/2 + ε)n 个顶点的分离单色匹配。
• 目前已知分离匹配（双色或单色）最大大小的上界为 (2 − √2)n ≈ 0.5858n，表明当前的下界已接近最优的常数倍。
• 基于分块分解与概率分析的证明技术具有通用性，适用于双色与单色情形；单色情形需对颜色数量不平衡的情况进行单独处理。