[论文解读] Long paths and cycles in random subgraphs of H-free graphs

Michael Krivelevich, Wojciech Samotij|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文证明，在任意最小度至少为 $ k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图 $ G $ 的随机子图 $ G_p $ 中，当 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 时，随着 $ k \to \infty $，以高概率存在长度至少为 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 的环，其中 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 是平均度至少为 $ k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图的最小顶点数。该结果将关于随机子图中长路径与长环的经典结果推广至 $ \mathcal{H} $-自由图的情形。

ABSTRACT

Let $\mathcal{H}$ be a given finite (possibly empty) family of connected graphs, each containing a cycle, and let $G$ be an arbitrary finite $\mathcal{H}$-free graph with minimum degree at least $k$. For $p \in [0,1]$, we form a $p$-random subgraph $G_p$ of $G$ by independently keeping each edge of $G$ with probability $p$. Extending a classical result of Ajtai, Komlós, and Szemerédi, we prove that for every positive $\varepsilon$, there exists a positive $δ$ (depending only on $\varepsilon$) such that the following holds: If $p \ge \frac{1+\varepsilon}{k}$, then with probability tending to $1$ as $k o \infty$, the random graph $G_p$ contains a cycle of length at least $n_{\mathcal{H}}(δk)$, where $n_{\mathcal{H}}(k)>k$ is the minimum number of vertices in an $\mathcal{H}$-free graph of average degree at least $k$. Thus in particular $G_p$ as above typically contains a cycle of length at least linear in $k$.

研究动机与目标

• 将关于随机子图中长路径与长环的经典结果推广至 $ \mathcal{H} $-自由图，其中 $ \mathcal{H} $ 是一组有限的连通有环图。
• 确定在最小度为 $ k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图的 $ p $-随机子图中，长环出现的阈值，推广 Erdős–Rényi 与 Ajtai–Komlós–Szemerédi 的结果。
• 量化 $ G_p $ 中最长环的长度，证明其至少为 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $，其中 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 是平均度 $ \geq k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图的最小顶点数。
• 证明当 $ \mathcal{H} $ 为空集时，该环长与 $ k $ 呈线性关系，从而恢复 $ G(n,p) $ 中经典线性长度环的结果。
• 研究环长对 $ \varepsilon $、$ \delta $ 及 $ \mathcal{H} $ 结构的依赖关系，特别是 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 的渐近行为。

提出的方法

• 将 $ G_p $ 定义为最小度至少为 $ k $ 的有限 $ \mathcal{H} $-自由图 $ G $ 的 $ p $-随机子图，其中每条边以独立概率 $ p $ 保留在子图中。
• 利用 Turán 型界 $ \mathrm{ex}(n, \mathcal{H}) $ 定义 $ n_{\mathcal{H}}(k) $，即任意 $ \mathcal{H} $-自由图在 $ n $ 个顶点时平均度至少为 $ k $ 的最小 $ n $。
• 应用概率方法证明，当 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 时，$ G_p $ 以高概率包含 $ \Omega(n) $ 条多余边，从而保证长环的存在。
• 在 $ G_p $ 中构造一棵根树 $ R $，使得 $ V(R) $ 诱导的子图的平均度至少为 $ c k $，其中 $ c > 0 $，以强制产生长环。
• 利用多余边计数与 $ \mathcal{H} $-自由图的结构特性，控制小树分量的数量，并确保存在一个具有高平均度的大连通分量。
• 利用已知的极值图论界，如 $ \mathrm{ex}(3\ell, \mathcal{H}) \leq 10 \cdot \mathrm{ex}(\ell, \mathcal{H}) $，控制高边度边的数量，并推导出环的长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 时，在最小度为 $ k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图的 $ p $-随机子图中，通常会出现的最长环长度是多少？
• RQ2 环长如何依赖于图族 $ \mathcal{H} $，特别是通过函数 $ n_{\mathcal{H}}(k) $（衡量平均度 $ \geq k $ 的 $ \mathcal{H} $-自由图的最小规模）？
• RQ3 当最小度被平均度 $ k $ 取代时，阈值 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 是否仍能保证 $ G_p $ 中存在长环？该阈值是否最优？
• RQ4 环长对 $ \varepsilon $ 的依赖关系如何？在 $ \mathcal{H} = \emptyset $ 的情况下，是否可将 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 中的指数改进以匹配已知界？
• RQ5 $ \mathcal{H} $-自由图的结构如何影响随机子图中长环的出现，特别是从极值图论约束的角度？

主要发现

• 对每个 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，使得当 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 时，随着 $ k \to \infty $，$ G_p $ 以高概率包含长度至少为 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 的环。
• 函数 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 关于 $ k $ 超线性增长，当 $ \mathcal{H} = \emptyset $ 时，环长至少与 $ k $ 线性相关，从而恢复了 $ G(n,p) $ 中的经典结果。
• $ \delta $ 对 $ \varepsilon $ 的依赖关系为多项式，意味着 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) \geq n_{\mathcal{H}}(c_{\mathcal{H}} \varepsilon^{\alpha_{\mathcal{H}}} k) $，其中 $ c_{\mathcal{H}}, \alpha_{\mathcal{H}} > 0 $ 为依赖于 $ \mathcal{H} $ 的常数。
• 证明表明，$ G_p $ 以高概率包含 $ \Omega(n) $ 条多余边，这足以保证长环的存在。
• 当 $ G $ 为正则图时，证明可简化，且以高概率存在长度至少为 $ \frac{\varepsilon^2}{20C} \cdot k $ 的环，其中 $ C $ 为绝对常数。
• $ \frac{n_{\mathcal{H}}(k)}{n_{\mathcal{H}}(\delta k)} $ 的上界为 $ \delta + o(1) $，但对于许多 $ \mathcal{H} $，特别是二分图，$ n_{\mathcal{H}}(k) $ 的增长速率尚不明确，因此 $ \delta < 1 $ 时该比值是否为有界的开放问题。