[论文解读] Long-range entanglement from measuring symmetry-protected topological phases

Nathanan Tantivasadakarn, Ryan Thorngren+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Advanced Electron Microscopy Techniques and Applications参考文献 158被引用 42

一句话总结

论文表明通过测量对称性保护的拓扑相（SPT）的方式，可以利用基于簇态的纠缠器来实现 Kramers-Wannier 与 Jordan-Wigner 变换，生成长程纠缠。

ABSTRACT

A fundamental distinction between many-body quantum states are those with short- and long-range entanglement (SRE and LRE). The latter cannot be created by finite-depth circuits, underscoring the nonlocal nature of Schrödinger cat states, topological order, and quantum criticality. Remarkably, examples are known where LRE is obtained by performing single-site measurements on SRE, such as the toric code from measuring a sublattice of a 2D cluster state. However, a systematic understanding of when and how measurements of SRE give rise to LRE is still lacking. Here, we establish that LRE appears upon performing measurements on symmetry-protected topological (SPT) phases -- of which the cluster state is one example. For instance, we show how to implement the Kramers-Wannier transformation by adding a cluster SPT to an input state followed by measurement. This transformation naturally relates states with SRE and LRE. An application is the realization of double-semion order when the input state is the $\mathbb Z_2$ Levin-Gu SPT. Similarly, the addition of fermionic SPTs and measurement leads to an implementation of the Jordan-Wigner transformation of a general state. More generally, we argue that a large class of SPT phases protected by $G imes H$ symmetry gives rise to anomalous LRE upon measuring $G$-charges, and we prove that this persists for generic points in the SPT phase under certain conditions. Our work introduces a new practical tool for using SPT phases as resources for creating LRE, and uncovers the classification result that all states related by sequentially gauging Abelian groups or by Jordan-Wigner transformation are in the same equivalence class, once we augment finite-depth circuits with single-site measurements. In particular, any topological or fracton order with a solvable finite gauge group can be obtained from a product state in this way.

研究动机与目标

• 阐明多体态中短程纠缠与长程纠缠的区别，并识别何时可以通过对 SRE 态的测量产生 LRE。
• 证明对 SPT 相的测量会诱导 LRE，并将其与 SPT 的异常与边界物理联系起来。
• 展示如何通过测量辅助的 SPT 纠缀操作实现 KW 与 JW 变换。
• 给出来自该框架的拓扑序（例如 double semion）和费米子 SPT 的实例。
• 提出一个一般性的分类：通过序贯 gauging 或 Jordan-Wigner 变换相关的态，在加上测量时属于同一等价类。

提出的方法

• 将簇态纠缠器 U_CZ 定义为最近邻 CZ 门的乘积。
• 证明在与 U_CZ 纠缠后对一个子晶格进行测量实现 Kramers-Wannier (KW) 对偶性。
• 证明 KW 将一个乘积态映射到长程纠缠态（1D 的 GHZ，2D 的 Toric Code）。
• 将该框架扩展到包含具有 G×H 对称性的 SPT，并在测量 G 电荷时显示出现 LRE。
• 对费米子 SPT 应用类似过程以实现 JW 变换。
• 利用对称性分数化论据来论证 LRE 在整个 SPT 相中具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下测量 SPT 相会产生长程纠缠？
• RQ2 如何通过测量增强的簇态协议实现 KW 与 JW 变换？
• RQ3 通过测量 SPT 而出现的拓扑序有哪些，它们与已知模型（如 double semion、toric code）有何关系？
• RQ4 从玻色子 SPT 延拓到费米子 SPT 以及更高的 G×H 对称性时，这一机制有多一般？
• RQ5 序贯 gauging、JW 变换与在有限深度电路加测量下得到的态等价类之间的关系是什么？

主要发现

• LRE 出现在测量 SPT 相时，而不仅仅在固定点 SPT 波函数。
• 簇态纠缠器与单比特测量相结合，在输入态上实现 KW 对偶性。
• 在 A 子晶格上测量 Levin-Gu Z2 SPT 会得到 double semion 拓扑序。
• 在费米子情况下，该过程实现一般态的 Jordan-Wigner 变换。
• 由 G×H 对称性保护的广泛 SPT 相在测量 G 电荷时产生异常 LRE，将 SPT 数据与新兴 LRE 联系起来。
• 通过对阿贝尔群的序贯 gauging 或通过 JW 变换相关的态，在加上有限深度电路与测量时属于同一等价类。