[论文解读] Long-range Ising chains: eigenstate thermalization and symmetry breaking of excited states

Angelo Russomanno, Michele Fava+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

本研究采用大规模精确对角化方法，研究幂律衰减相互作用（衰减指数 α）的长程量子伊辛链。研究提供了数值证据，表明对于任意 α > 0，都会出现遍历行为，高能密度下出现本征态热化，且在弱横向场下，有限能密度下本征态中的对称性破缺持续存在，从而解决了长程系统中热化与对称性方面的关键问题。

ABSTRACT

We use large-scale exact diagonalization to study the quantum Ising chain in a transverse field with long-range power-law interactions decaying with exponent $\alpha$. Analyzing various eigenstate and eigenvalue properties, we find numerical evidence for ergodic behavior in the thermodynamic limit for $\alpha>0$, extit{i.~e.} for the slightest breaking of the permutation symmetry at $\alpha=0$. Considering {an} excited-state fidelity susceptibility, {an} energy-resolved average level-spacing ratio and the eigenstate expectations of observables, we observe that a behavior consistent with eigenstate thermalization first emerges at high energy densities for finite system sizes, as soon as $\alpha>0$. We argue that ergodicity moves towards lower energy densities for increasing system sizes. While we argue the system to be ergodic for any $\alpha>0$, we also find a peculiar behaviour near $\alpha=2$ suggesting the proximity to a yet unknown integrable point. We further study the symmetry-breaking properties of the eigenstates. We argue that for weak transverse fields the eigenstates break the $\mathbb{Z}_2$ symmetry, and show long-range order, at finite excitation energy densities for all the values of $\alpha$ we can technically address ($\alpha\leq 1.5$). Our contribution settles central theoretical questions on long-range quantum Ising chains and are also of direct relevance for the nonequilibrium dynamics in such systems such as realized experimentally in systems of trapped ions.

研究动机与目标

• 确定长程伊辛链在幂律相互作用下是否在热力学极限下表现出遍历行为。
• 研究本征态热化在不同能密度和系统尺寸下的出现机制。
• 分析本征态的对称性破缺特性，特别是有限能密度下 Z₂ 对称性的破缺。
• 探索在 α = 2 附近可能存在未知可积点的可能性。
• 解决长程量子自旋系统中热化与序的中心理论问题。

提出的方法

• 采用大规模精确对角化方法，计算具有相互作用衰减指数 α 的长程横向场伊辛哈密顿量的本征态与本征值。
• 计算能量分辨的能级间距比，以评估能级统计，区分遍历与非遍历行为。
• 利用本征态保真度敏感度探测激发态中的量子相变与局域化。
• 分析局部可观测量在本征态中的期望值，以检测热化与长程序。
• 研究遍历性出现的系统尺寸依赖性，以推断热力学极限下的行为。
• 分析聚焦于 α ≤ 1.5，以应对技术限制，同时探测接近 α = 2 的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 α > 0，即使长程相互作用较弱，长程伊辛链是否仍会表现出遍历行为？
• RQ2 本征态热化首次出现的能密度是多少？其如何随系统尺寸变化？
• RQ3 在有限能密度下，基态的 Z₂ 对称性在激发本征态中如何体现？
• RQ4 在 α = 2 附近是否存在临界点或可积行为的证据？
• RQ5 长程序与本征态热化特性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于所有 α > 0，数值上观察到遍历行为，且在有限系统中高能密度下出现本征态热化。
• 随着系统尺寸增大，遍历性出现的临界能密度向更低能密度移动，表明在热力学极限下将实现完全遍历。
• 对于所有 α ≤ 1.5 及弱横向场，本征态在有限激发能密度下破缺 Z₂ 对称性并表现出长程序。
• 在 α = 2 附近出现的异常行为提示其可能接近一个未知的可积点。
• 尽管激发态中对称性破缺持续存在，仍可论证系统对任意 α > 0 均为遍历。
• 结果对具有长程相互作用的实验系统（如囚禁离子）中的非平衡动力学具有直接相关性。