[论文解读] Long range scattering for some Schr"odinger related nonlinear systems

J. Ginibre, G. Velo|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2004

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文建立了临界空间维数下与非线性薛定谔方程相关的系统——具体为三维波-薛定谔（WS）₃、麦克斯韦-薛定谔（MS）₃、克莱因-戈登-薛定谔（KGS）₂以及扎哈罗夫（Z）ₙ系统——的长程散射理论。通过一种专为小薛定谔数据与边界长程相互作用设计的直接方法，证明了具有指定渐近行为的全局解的存在性，并在适当范数下导出了 O(t⁻¹) 的收敛速率，且对波场或势场数据的大小无任何限制。

ABSTRACT

We review some recent results on the theory of scattering and more precisely on the local Cauchy problem at infinity in time for some long range nonlinear systems including some form of the Schr"odinger equation. We consider in particular the Wave-Schr"odinger system in space dimension 3, the Maxwell-Schr"odinger system in space dimension 3, the Klein-Gordon-Schr"odinger system in space dimension 2 and the Zakharov system in space dimensions 2 and 3. By the use of a direct method which is intrinsically restricted to the case of small Schr"odinger data and to the borderline long range case, one can prove the existence of solutions defined for large times and with prescribed asymptotic behaviour in time, without any size restriction on the Wave, Maxwell or Klein-Gordon data. Furthermore one obtains convergence rates of the solutions to their asymptotic forms as negative powers of t in suitable norms.

研究动机与目标

• 在临界维数下建立涉及薛定谔方程的非线性系统的长程散射理论。
• 解决具有长程相互作用的系统在时间无穷远处的局部柯西问题。
• 通过仅针对小薛定谔数据的直接方法，证明具有指定渐近行为的全局解的存在性。
• 在适当范数下推导解的 O(t⁻¹) 收敛速率。
• 表明波场、麦克斯韦场或克莱因-戈登场的数据无需施加大小限制。

提出的方法

• 将一种直接方法应用于边界长程情形，特别针对小薛定谔数据进行设计。
• 通过修改底层自由线性系统的解来构造渐近轮廓。
• 该方法依赖于构造能捕捉长程行为的近似解 (uₐ, Aₐ)。
• 关键估计通过加权范数以及对渐近态 u₊ 的傅里叶变换的衰减假设获得。
• 通过假设 ŝu₊ 在特定水平集（如 |x|=r）上具有足够的消失阶数，来控制渐近形式引起的奇点。
• 分析使用函数空间 X([T,∞)) 的框架来控制余项 (v,B) = (u−uₐ, A−Aₐ)，以确保唯一性与存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有指定时间无穷远处渐近行为的长程非线性薛定谔系统构造全局解？
• RQ2 在长程情形下，解的收敛速率能达到何种程度，其与渐近数据的关系如何？
• RQ3 在长程散射理论中，波场或势场数据的大小限制能在多大程度上放宽？
• RQ4 在不施加波场或势场分量小量条件的前提下，如何控制渐近轮廓构造中的奇点？
• RQ5 为确保全局解的存在性，渐近态 ŝu₊ 所需的最小正则性与衰减假设是什么？

主要发现

• 对于 (KGS)₂ 系统，可在不施加克莱因-戈登场或势场数据大小限制的前提下，构造出具有指定无穷远处渐近行为的全局解。
• 在适当范数下，解的收敛速率被确立为 O(t⁻¹)，对应于边界长程情形。
• 渐近轮廓通过修改自由线性解构造，其修正项来源于长程相互作用项。
• 该方法即使在相互作用具有长程性质的情况下，也允许波场、麦克斯韦场或克莱因-戈登场数据无小量条件。
• 通过假设渐近薛定谔态的傅里叶变换在特定集合（如 |x|=r）上具有足够的消失性，控制了渐近轮廓中的奇点。
• 类似结果预计也适用于 (WS)₃、(MS)₃ 和 (Z)ₙ 系统在其各自长程区域中的情形，具有相同的收敛速率与数据大小假设。