[论文解读] Long Tail Behavior of Queue Lengths in Broadband Networks: Tsallis Entropy Framework

Karmeshu, Shachi Sharma|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于Tsallis熵的最大熵框架，用于建模宽带网络中的长尾队列长度分布，表明当熵参数 q < 1 时，幂律行为会显现。该框架推导出队列长度概率的显式表达式，并表明在低流量强度下，系统利用率可低于 M/M/1 水平，且流量强度 r 与拉格朗日乘子 b 之间的非线性关系由 b 的指数项和幂律项共同决定，具体形式随 q 值变化。

ABSTRACT

A maximum entropy framework based on Tsallis entropy is proposed to depict long tail behavior of queue lengths in broadband networks. Queue length expression as measured in terms of number of packets involves Hurwitz-zeta function. When the entropy parameter q in Tsallis entropy is less than unity, the distribution of packets yields power law behavior. In the limit q tending to unity, Tsallis entropy expression reduces to one due to Shannon and well-known results of M/M/1 queuing system are recovered. Relationship between Tsallis entropy parameter q and Hurst parameter H (measure of self-similarity) is postulated. A numerical procedure based on Newton-Raphson method is outlined to compute Lagrange's parameter b. Various relationships between traffic intensity r and Lagrange's parameter b are examined using data generated from mean number of packets from storage model due to Norros. It is found that best fit corresponds to r being a linear combination of decaying exponential and power exponent in b for different values of entropy parameter q. Explicit expression for the probability that queue size exceeds a certain value is derived and it is established that it asymptotically follows power law for q less than one. The system utilization shows an interesting behavior when the parameter r is varied. It attains lower values than that of M/M/1 system for smaller values of r whereas situation reverses for higher values of r.

研究动机与目标

• 使用非广延统计力学方法对宽带网络中的长尾队列长度分布进行建模。
• 研究Tsallis熵参数 q 与反映流量自相似性的Hurst参数 H 之间的关系。
• 推导队列大小超过阈值的概率的闭式表达式，并确立其渐近幂律行为。
• 研究在不同流量强度 r 和熵参数 q 下系统利用率的行为。
• 开发一种基于牛顿-拉夫森法的数值方法，用于计算拉格朗日乘子 b。

提出的方法

• 该框架采用参数 q < 1 的Tsallis熵来建模非广延系统，从而产生幂律分布。
• 在均值队列大小和归一化约束下，利用最大熵原理推导队列长度分布。
• 所得分布涉及Hurwitz-zeta函数，当 q < 1 时表现出幂律衰减。
• 基于牛顿-拉夫森迭代的数值方法用于从均值队列大小计算拉格朗日乘子 b。
• 流量强度 r 与 b 之间的关系被建模为 b 的衰减指数函数与幂律函数的线性组合，具体形式随 q 值变化。
• 尾部概率的渐近行为被解析推导，证实当 q < 1 时呈现幂律衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tsallis熵参数 q 如何影响宽带网络中队列长度的长尾行为？
• RQ2 在所提出的框架中，流量强度 r 与拉格朗日乘子 b 之间的函数关系是什么？
• RQ3 在不同 r 和 q 下，基于Tsallis的模型中系统利用率与经典 M/M/1 队列相比如何？
• RQ4 在Tsallis熵模型下，队列大小超过 x 的尾部概率 P(队列大小 > x) 的解析形式是什么？
• RQ5 在该框架中，表示自相似性的Hurst参数 H 如何与熵参数 q 相关联？

主要发现

• 当 q < 1 时，队列长度分布表现出幂律行为，证实了宽带流量中长尾特性的存在。
• 当 q 趋近于 1 时，Tsallis熵退化为Shannon熵，模型恢复标准 M/M/1 队列结果。
• 当 q < 1 时，队列大小超过阈值的概率渐近遵循幂律，验证了分布的长尾性质。
• 在小流量强度 r 下，系统利用率低于 M/M/1 模型，但在较高 r 时则超过 M/M/1，表明其行为具有非单调性。
• r 关于 b 的最佳拟合模型为衰减指数函数与幂律函数的线性组合，其系数依赖于熵参数 q。
• 通过牛顿-拉夫森法高效计算拉格朗日乘子 b 的数值解，使该框架得以实际应用。