[论文解读] Long Term Risk: A Martingale Approach

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 65被引用 4

一句话总结

本文通过局部鞅方法，将随机折现因子的长期分解推广至一般半鞅环境，表明在长期远期测度下长期风险收益权衡消失——该测度被解释为长期风险中性测度——从而在不依赖马尔可夫假设的前提下，统一了离散时间与马尔可夫框架。

ABSTRACT

This paper extends the long-term factorization of the stochastic discount factor introduced and studied by Alvarez and Jermann (2005) in discretetime ergodic environments and by Hansen and Scheinkman (2009) and Hansen (2012) in Markovian environments to general semimartingale environments. The transitory component discounts at the stochastic rate of return on the long bond and is factorized into discounting at the long-term yield and a positive semimartingale that extends the principal eigenfunction of Hansen and Scheinkman (2009) to the semimartingale setting. The permanent component is a martingale that accomplishes a change of probabilities to the long forward measure, the limit of T-forward measures. The change of probabilities from the data generating to the long forward measure absorbs the long-term risk-return trade-off and interprets the latter as the long-term risk-neutral measure.

研究动机与目标

• 将随机折现因子的长期分解推广至马尔可夫与离散时间设定之外的框架。
• 在连续时间半鞅模型中，建立长期远期测度为T-远期测度在T → ∞时的弱极限。
• 证明在长期远期测度下，随机增长现金流的长期风险溢价消失。
• 统一阿尔瓦雷斯与尔曼（2005）的离散时间结果与汉森与施莱克曼（2009）及汉森（2012）的马尔可夫算子方法结果。
• 为不依赖马尔可夫性或遍历性假设的长期资产定价提供严格的半鞅基础。

提出的方法

• 使用半鞅分解在连续时间中建模随机折现因子，推广至非马尔可夫环境。
• 将长期远期测度构造为当到期时间T → ∞时T-远期测度的弱极限。
• 将定价核的永久成分识别为正局部鞅，其诱导从原始测度到长期远期测度的测度变换。
• 将瞬时成分分解为长期收益率λ与一个正半鞅，该半鞅将庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯特征函数推广至半鞅情形。
• 采用指数遍历性假设，以确保债券价格与远期测度在总变差与ucp拓扑下的收敛性。
• 应用半鞅收敛理论，推导长期定价近似中的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将随机折现因子的长期分解推广至马尔可夫与离散时间模型之外？
• RQ2 长期远期测度在一般半鞅模型中吸收长期风险调整的作用是什么？
• RQ3 长期远期测度在何种条件下存在并与其遍历特征测度重合？
• RQ4 定价核的局部鞅成分如何影响长期风险收益权衡？
• RQ5 在非马尔可夫设定下，能否推导出具有显式收敛速率的长期定价公式？

主要发现

• 长期远期测度作为T-远期测度的极限存在，且作为长期风险中性测度，在该测度下长期风险溢价消失。
• 长期收益率λ被识别为在矩有界的现金流上的渐近收益率，即使在非马尔可夫设定下亦成立。
• 在退化情形λ = 0时，定义了渐近幂收益率，将长期定价框架扩展至次指数贴现情形。
• 在指数遍历性条件下，债券价格与远期测度向其长期极限的收敛速度为指数级α > 0。
• 对于有界收益的长期定价公式误差被界为c‖f‖∞e−(λ+α)t，确保快速收敛。
• 局部鞅成分驱动了数据生成测度与长期远期测度之间的偏离，且在债券市场中具有显著的实证意义，如Qin et al. (2016) 所示。