[论文解读] Long time behavior of random and nonautonomous Fisher-KPP equations. Part I. Stability of equilibria and spreading speeds

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文研究了在无需假设增长率有界或一致正定的条件下，随机与非自治Fisher-KPP方程中非负解的长期行为。研究建立了正平衡解 $ u=1 $ 的渐近稳定性，推导出确定性的传播速度区间 $[2ackslashsqrt{ackslashunderline{a}}, 2ackslashsqrt{ackslashbar{a}}]$，并证明了即使 $ a(\omega) $ 或 $ a_0(t) $ 在部分区域无界或消失，传播速度仍具有线性决定性。

ABSTRACT

In the current series of two papers, we study the long time behavior of the following random Fisher-KPP equation $$ u_t =u_{xx}+a(θ_tω)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R} $$ where $ω\inΩ$, $(Ω, \mathcal{F},\mathbb{P})$ is a given probability space, $θ_t$ is an ergodic metric dynamical system on $Ω$, and $a(ω)>0$ for every $ω\inΩ$. We also study the long time behavior of the following nonautonomous Fisher-KPP equation, $$ u_t=u_{xx}+a_0(t)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R}$$ where $a_0(t)$ is a positive locally Hölder continuous function. In this first part of the series, we investigate the stability of positive equilibria and the spreading speeds. Under some proper assumption on $a(ω)$, we show that the constant solution $u=1$ of (1) is asymptotically stable with respect to strictly positive perturbations and show that (1) has a deterministic spreading speed interval $[2\sqrt{\underline a}, 2\sqrt{\bar a}]$, where $\underline{a}$ and $\bar a$ are the least and the greatest means of $a(\cdot)$, respectively, and hence the spreading speed interval is linearly determinant. It is shown that the solution of (1) with the initial function which is bounded away from $0$ for $x\ll -1$ and is $0$ for $x\gg 1$ propagates at the speed $2\sqrt {\hat a}$, where $\hat a$ is the average of $a(\cdot)$. Under some assumption on $a_0(\cdot)$, we also show that the constant solution $u=1$ of (2) is asymptotically stably and (2) admits a bounded spreading speed interval. It is not assumed that $a(ω)$ and $a_0(t)$ are bounded above and below by some positive constants. The results obtained in this part are new and extend the existing results in literature on spreading speeds of Fisher-KPP equations. In the second part of the series, we will study the existence and stability of transition fronts of (1) and (2).

研究动机与目标

• 分析具有无界或消失增长率的非自治与随机Fisher-KPP方程的长期动力学行为。
• 在时间与空间依赖的增长率的一般条件下，建立正平衡解 $ u=1 $ 的渐近稳定性。
• 在不假设 $ \inf a(\omega) > 0 $ 或 $ \sup a_0(t) < \infty $ 的前提下，确定随机与非自治Fisher-KPP方程的传播速度区间。
• 将经典传播速度与取代性质结果推广至更一般、更低正则性的增长率函数。
• 为系列论文第二部分中过渡波前的研究奠定基础。

提出的方法

• 利用遍历度量动力系统模型化随机Fisher-KPP方程中随机时变系数 $ a(\theta_t\omega) $。
• 应用次可加遍历定理分析长期行为，并推导随机情形下的传播速度。
• 采用比较原理与常系数辅助解，以控制非自治方程解的上下界。
• 通过指数函数与时变势函数构造显式上解，以控制解的衰减与传播行为。
• 运用移动框架方法与行波型估计分析非自治情形下的传播速度。
• 通过与具有有效增长率 $ \underline{a} $ 和 $ \bar{a} $ 的常系数Fisher-KPP方程比较，建立传播速度的线性决定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ a(\omega) $ 无界或趋于零时，随机Fisher-KPP方程中正平衡解 $ u=1 $ 在何种条件下是渐近稳定的？
• RQ2 当 $ a(\omega) $ 不远离零或无穷时，随机Fisher-KPP方程的传播速度区间是什么？
• RQ3 当 $ a_0(t) $ 无界时，非自治Fisher-KPP方程的传播速度如何依赖于时间平均增长率 $ \hat{a} $？
• RQ4 当 $ a(\omega) $ 或 $ a_0(t) $ 无一致下界与上界时，传播速度是否仍具有线性决定性？
• RQ5 当增长率不规则或无界时，是否仍能保持取代性质（即以速度 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ 传播）？

主要发现

• 即使 $ a(\omega) $ 不远离零，随机Fisher-KPP方程中常数解 $ u=1 $ 对严格正初始扰动仍为渐近稳定。
• 随机Fisher-KPP方程存在确定性的传播速度区间 $[2\sqrt{\underline{a}}, 2\sqrt{\bar{a}}]$，其中 $ \underline{a} $ 与 $ \bar{a} $ 分别为 $ a(\omega) $ 的本质下确界与上确界。
• 对于初始数据在 $ x \ll -1 $ 处为1、在 $ x \gg 1 $ 处为0的情形，解以速度 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ 传播，其中 $ \hat{a} $ 是 $ a(\cdot) $ 的均值。
• 对于非自治Fisher-KPP方程，即使 $ \inf a_0(t) = 0 $ 或 $ \sup a_0(t) = \infty $，在 $ a_0(t) $ 满足弱条件时，正平衡解 $ u=1 $ 仍为渐近稳定。
• 非自治情形下的传播速度区间有界，且依赖于时间平均增长率 $ \underline{a}_0 $ 与 $ \overline{a}_0 $，线性决定性得以保持。
• 构造了一个显式例子，其中 $ a_0(t) $ 满足 $ \inf a_0(t) = 0 $，$ \sup a_0(t) = \infty $，但仍有 $ \underline{a}_0 = 1 $，$ \overline{a}_0 = 2 $，表明该理论适用于高度不规则的增长率。