[论文解读] Long-time behaviour of generalised Zig-Zag process

Ninon Fétique|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了广义Zig-Zag过程的指数遍历性与指数矩界——该过程是一种描述细菌趋化运动的连续时间、非时齐、非马尔可夫的随机过程，其速度位于单位球内。通过李雅普诺夫函数与半再生过程理论，在跳跃速率与速度核的温和条件下，证明了该过程对不变测度的指数收敛性，并在一维与高维情形下给出了明确的矩界。

ABSTRACT

We study the long-time behaviour of a class of piecewise-deterministic Markov processes which are an extension of some recent works. These $d$-dimensional processes, d>=1, can especially be used to model the motion of a bacterium in presence of a chemo-attractant, with parameters depending both on the position and the velocity of the bacterium. Using the method of Meyn and Tweedie, we show that under some good assumptions on the parameters of the model, such a process converges exponentially fast towards its invariant measure. We also establish the existence of exponential moments of the invariant measure using results on semi-regenerative processes. The one-dimensional case is studied separately since complementary results can be obtained in that particular case.

研究动机与目标

• 分析速度位于单位球内的广义Zig-Zag过程的长期行为，扩展对趋化吸引场中细菌运动的建模。
• 在跳跃速率与速度核满足温和正则性与增长条件的前提下，建立该过程的指数遍历性。
• 利用半再生过程技术，推导不变测度的指数矩的显式界。
• 比较一维与高维情形，突出遍历性证明与假设中的结构性差异。
• 通过构造一个满足新条件但不满足先前假设的反例，证明该方法可适用于此前未覆盖的过程，如非单调跳跃速率的情形。

提出的方法

• 采用Meyn与Tweedie提出的李雅普诺夫函数方法，建立该PDMP的几何遍历性。
• 通过考虑一维情形下过程首次击中原点的 hitting 时间，将过程建模为半再生过程。
• 利用原点击中时间的指数矩上界，验证不变测度矩界所需的条件。
• 应用半再生过程理论中的定理4.1，推导在特定速率与核条件下，指数矩可积性的充分条件。
• 在一维情形下，基于位置-速度内积符号构造李雅普诺夫函数，利用过程趋向原点的倾向性。
• 通过分析 $X_t \cdot V_t$ 在决定返回行为中的作用，比较一维与高维情形，推导出不同的假设条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义Zig-Zag过程会以指数速度收敛到其不变测度？
• RQ2 如何为这一类PDMP的不变测度的指数矩建立界？
• RQ3 一维与高维情形下，遍历性证明的结构性差异是什么？
• RQ4 能否将遍历性结果推广到跳跃速率非单调的过程，如依赖于位置与速度的非平凡方式的系统？
• RQ5 本文的假设在多大程度上覆盖了先前研究未涵盖的模型，如具有非对称或非乘积形式跳跃速率的模型？

主要发现

• 在跳跃速率 $\lambda(x,v)$ 与速度核 $Q(x,v,\cdot)$ 满足适当假设的前提下，广义Zig-Zag过程会以指数速度收敛到其不变测度。
• 对于所有 $\alpha < \gamma$ 与 $\beta > 0$，不变测度的指数矩存在，且满足 $\int_{\mathbb{R} \times [-1,1]} e^{\alpha|x| + \beta|v|} \pi(dx,dv) < \infty$，该结论通过半再生过程技术建立。
• 在一维情形下，即使跳跃速率非单调，过程仍为指数遍历，这通过构造一个满足假设 $(\mathcal{A}_4)$ 但不满足 $(\mathcal{H}_4)$ 的例子得以证明。
• 一维情形的证明依赖于 $X_t \cdot V_t$ 的符号来判断返回行为，而这一方法无法直接推广到高维情形。
• 该方法通过表达式 $\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} G(\alpha,v) dv \leq J_* < 1$ 获得指数矩的定量界，该式在特定区间 $I_*$ 内对 $\alpha$ 成立。
• 本文表明，一维分析可推广至高维情形，但反之不成立，原因在于高维情形下缺乏基于符号的简单返回判据。