[论文解读] Long time dynamics and disorder-induced traveling waves in the stochastic Kuramoto model

Éric Luçon, Christophe Poquet|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 39被引用 20

一句话总结

本文研究了具有淬火无序的随机 Kuramoto 模型中的长时间动力学，表明在 √N 阶的时间尺度上，无序诱导的行进波在同步稳态流形上的经验测度中出现。关键结果表明，无序涨落主导热噪声，导致旋转持续进行，其速度和方向取决于淬火频率的不对称性。

ABSTRACT

The aim of the paper is to address the long time behavior of the Kuramoto model of mean-field coupled phase rotators, subject to white noise and quenched frequencies. We analyse the influence of the fluctuations of both thermal noise and frequencies (seen as a disorder) on a large but finite population of $N$ rotators, in the case where the law of the disorder is symmetric. On a finite time scale $[0, T]$, the system is known to be self-averaging: the empirical measure of the system converges as $N\ o \\infty$ to the deterministic solution of a nonlinear Fokker-Planck equation which exhibits a stable manifold of synchronized stationary profiles for large interaction. On longer time scales, competition between the finite-size effects of the noise and disorder makes the system deviate from this mean-field behavior. In the main result of the paper we show that on a time scale of order $ \\sqrt{N}$ the fluctuations of the disorder prevail over the fluctuations of the noise: we establish the existence of disorder-induced traveling waves for the empirical measure along the stationary manifold. This result is proved for fixed realizations of the disorder and emphasis is put on the influence of the asymmetry of these quenched frequencies on the direction and speed of rotation of the system. Asymptotics on the drift are provided in the limit of small disorder.

研究动机与目标

• 分析具有热噪声和淬火频率无序的有限但大群体中 Kuramoto 模型的长时间动力学。
• 解决有限尺寸涨落（来自热噪声和无序）在平均场极限之外对系统宏观行为的竞争影响。
• 严格建立由于无序而非噪声，在长时间尺度上经验测度中行进波的出现。
• 量化淬火频率的不对称性如何影响系统中旋转的方向和速度。
• 在弱无序极限下，提供行进波漂移的渐近表达式。

提出的方法

• 分析由涉及相互作用、噪声和淬火频率的 SDE 控制的 N 个相位转子的随机 Kuramoto 模型。
• 使用平均场极限推导出描述 N → ∞ 时系统行为的非线性 Fokker-Planck PDE。
• 识别出大耦合常数 K 下的同步稳态分布的稳定流形。
• 应用时间尺度分离：在 √N 时间尺度上研究动力学，此时无序涨落主导热噪声。
• 对 Fokker-Planck 算子使用谱分析和微扰理论，推导出在稳态流形上的有效动力学。
• 使用投影技术和傅里叶模态展开，表征在无序存在下经验测度的漂移。

实验结果

研究问题

• RQ1 无序和热噪声如何竞争决定有限尺寸 Kuramoto 系统的长时间行为？
• RQ2 在经验测度中，无序涨落何时在时间尺度上超过热噪声？
• RQ3 仅靠无序是否能诱导 Kuramoto 模型经验测度中的行进波，即使在无外部驱动力时？
• RQ4 淬火频率分布的不对称性如何影响所产生行进波的方向和速度？
• RQ5 在弱无序极限下，行进波漂移的渐近行为是什么？

主要发现

• 在 √N 阶时间尺度上，淬火无序的涨落主导热噪声，导致经验测度的持续漂移。
• 无序诱导的行进波沿同步稳态分布的稳定流形出现，波速和方向由频率分布的不对称性决定。
• 行进波的漂移在弱无序极限下渐近正比于频率无序的一阶矩，已推导出其主导阶表达式。
• 系统表现出非平凡的长时间动力学，经验测度由于无序而均匀旋转，尽管平均场极限是静止的。
• 该分析严格验证了 Balmforth 和 Sassi（2002）关于 Kuramoto 模型中无序诱导旋转的数值观察。
• 由于无序导致的 Fokker-Planck 算子的微扰在投影动力学中产生非零漂移，通过谱分析和泛函分析技术得到证实。