[论文解读] Long-time dynamics in quantum spin lattices: ergodicity and hydrodynamic projections at all frequencies and wavelengths

Dimitrios Ampelogiannis, Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2021

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

本文在所有频率和波长下，建立了量子自旋晶格中遍历性与流体动力学投影之间的严格联系。它证明了在短程相互作用系统中，通过广义流体动力学投影形式化，流体动力学模式普遍涌现，且不依赖于混沌性，仅基于广延性和处处几乎遍历性，其结果在任意维度下对任意波矢和频率均成立。

ABSTRACT

Obtaining rigorous and general results about the non-equilibrium dynamics of extended many-body systems is a difficult task. In quantum lattice models with short-range interactions, the Lieb-Robinson bound tells us that the spatial extent of operators grows at most linearly in time. But what happens within this light-cone? We discuss rigorous results on ergodicity and the emergence of the hydrodynamic scale, which establish fundamental principles at the root of non-equilibrium physics. One key idea of the present work is that general structures of hydrodynamics at the Euler scale follow independently from the details of the microscopic dynamics, and in particular do not necessitate chaos; they are consequences of "extensivity". Another crucial observation is that these apply at arbitrary frequencies and wavelengths. That is, long-time oscillatory behaviours can be reproduced from a natural extension of standard hydrodynamic notions, thus enlarging the hydrodynamic paradigm beyond the zero-frequency / infinite-wavelength point that it traditionally addresses.

研究动机与目标

• 建立扩展量子系统中非平衡动力学的基本原理，特别是遍历性和流体动力学涌现。
• 证明流体动力学行为并非源于混沌，而是源于短程量子晶格模型中的广延性和遍历性。
• 将流体动力学推广至零频率/无限波长极限之外，涵盖振荡性、有限频率和有限波长的动力学。
• 严格定义流体动力学模式为作用于广延可观测量的 $ f $-振荡幺正演化算符的核。
• 证明这些结果在短程超立方量子晶格中几乎所有时空射线速度下普遍成立。

提出的方法

• 使用 $ C^* $-代数形式化分析遍历性，并将冯·诺依曼的量子遍历定理推广至多体系统。
• 引入“非局域化条件”以证明局部可观测量的时间遍历性，以及在局部扰动下KMS态的稳定性。
• 应用“处处几乎遍历性”证明沿几乎所有时空射线的无限时间平均非波动且趋近于单位算符。
• 通过将流体动力学模式定义为作用于 $ m{k} $-广延量的幺正演化算符的核，推导出流体动力学投影定理。
• 应用鞍点分析和振荡线性化欧拉流体动力学，重现两点函数中的长时间振荡行为。
• 采用 $ p > D $ 衰减的聚类假设，以确保 $ m{k} $-空间内积收敛，并定义希尔伯特空间的完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖混沌动力学的前提下，严格建立量子自旋晶格中的遍历性和流体动力学投影？
• RQ2 流体动力学模式在超越标准欧拉尺度极限的任意频率和波数下，其涌现程度如何？
• RQ3 时空射线中的处处几乎遍历性概念如何导致局部可观测量中经典行为的涌现？
• RQ4 流体动力学模式空间的精确数学结构是什么？其依赖频率和波数的方式如何？
• RQ5 振荡性流体动力学行为能否通过广义线性化欧拉方程捕捉？其是否能重现已知的长时间动力学？

主要发现

• 在短程量子晶格模型中，流体动力学投影通过广延性普遍涌现，且不依赖于混沌或可积性。
• 对于几乎所有时空射线速度 $ v $，局部可观测量的无限时间平均非波动且趋近于单位算符，表明其发生经典化。
• 流体动力学模式空间被严格定义为作用于 $ m{k} $-广延可观测量的 $ f $-振荡幺正演化算符的核。
• 振荡线性化欧拉方程成功重现了两点函数中的长时间振荡行为，如在自由费米子链中所示。
• 在 $ p > D $ 聚类假设下，$ m{k} $-空间内积 $ raket{A,B}_{m{k}} $ 在 $ m{k} $ 上一致有界且连续，且满足 $ raket{A,B}_{m{k}} o raket{A,B}_0 $ 当 $ m{k} o 0 $。
• 证明依赖于 $ p $-聚类且 $ p > D $，确保在晶格体积上对 $ (L+1)^{-D} $-归一化和的收敛性，且误差项在热力学极限下趋于零。