[论文解读] Long-time integration of parametric evolution equations with physics-informed DeepONets

Sifan Wang, Paris Perdikaris|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 9

一句话总结

本文提出了一种物理信息引导的DeepONet框架，通过自监督训练学习短时间内的解算子，实现对参数化演化方程的长时间积分。该方法通过迭代预测实现高精度、低成本的长时间模拟，在波动方程、反应-扩散方程和刚性动力学问题中，计算成本仅为经典求解器的极小部分。

ABSTRACT

Ordinary and partial differential equations (ODEs/PDEs) play a paramount role in analyzing and simulating complex dynamic processes across all corners of science and engineering. In recent years machine learning tools are aspiring to introduce new effective ways of simulating PDEs, however existing approaches are not able to reliably return stable and accurate predictions across long temporal horizons. We aim to address this challenge by introducing an effective framework for learning infinite-dimensional operators that map random initial conditions to associated PDE solutions within a short time interval. Such latent operators can be parametrized by deep neural networks that are trained in an entirely self-supervised manner without requiring any paired input-output observations. Global long-time predictions across a range of initial conditions can be then obtained by iteratively evaluating the trained model using each prediction as the initial condition for the next evaluation step. This introduces a new approach to temporal domain decomposition that is shown to be effective in performing accurate long-time simulations for a wide range of parametric ODE and PDE systems, from wave propagation, to reaction-diffusion dynamics and stiff chemical kinetics, all at a fraction of the computational cost needed by classical numerical solvers.

研究动机与目标

• 解决基于机器学习的PDE求解器在长时间预测中精度下降的挑战，此类问题在长时间时间域内常出现性能退化。
• 克服现有物理信息神经网络（PINNs）在长时间模拟中稳定性与精度不足的局限性。
• 开发一种可扩展的自监督深度学习框架，用于学习将初始条件映射到短时间间隔内PDE解的解算子。
• 通过迭代评估训练好的模型，实现在多种初始条件下的全局长时间预测。
• 在复杂、非线性和刚性动力系统（包括波动传播和化学动力学）中，验证该方法的有效性与计算效率。

提出的方法

• 训练一个物理信息引导的DeepONet，以学习将随机初始条件映射到其对应PDE解的无限维解算子，时间区间为短时。
• 采用自监督训练策略，仅需PDE形式及初始/边界条件，无需成对的输入-输出数据。
• 利用深度算子网络架构，将解算子参数化为具有独立分支网络和主干网络的神经网络，分别处理输入和空间/时间评估。
• 执行迭代预测：将每次短时间预测结果作为下一次的初始条件，从而实现长时间积分。
• 通过迭代推理实现时间域分解，避免在全时间跨度上训练单一网络。
• 通过弱形式和配点法在训练中强制施加PDE残差和边界条件，确保物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息引导的DeepONet能否在无成对训练数据的情况下，学习到参数化ODE/PDE短时间演化过程的稳定且准确的解算子？
• RQ2 使用短时间训练的DeepONet进行迭代推理，在长时间模拟中的表现与经典数值求解器相比如何？
• RQ3 所提方法能否在多种初始条件下泛化，并在长时间时间域内保持精度？
• RQ4 与传统时间积分方案及PINNs相比，该方法的计算效率和可扩展性如何？
• RQ5 在长时间时间域内，该方法在处理刚性系统、波动传播和反应-扩散动力学方面的鲁棒性如何？

主要发现

• 物理信息引导的DeepONet仅凭PDE形式和边界条件即可实现高精度的短时间解算子学习，无需成对数据。
• 利用训练模型进行迭代预测，可在多种初始条件和不同PDE系统中实现稳定且高精度的长时间模拟。
• 与经典数值求解器相比，该方法将计算成本降低了数个数量级，同时保持了高解的保真度。
• 该方法成功模拟了长时间范围内的波动传播、反应-扩散动力学以及刚性化学动力学，且误差累积极小。
• 该框架对未见过的初始条件具有良好的泛化能力，展现出在ODE/PDE参数族中的强大零样本泛化性能。
• 自监督训练范式即使在高维和复杂动力学区域中也能实现稳健学习，其长时间稳定性优于标准PINNs。